Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа (стр. 2 из 26)

1. Принципы волоконно-оптической гироскопии

1.1. Основные характеристики ВОГ

Оптический гироскоп относится к классу приборов, в которых в замкнутом оптическом контуре распространяются встречно бегущие световые лучи. Принцип действия оптического гироскопа основан на «вихревом» эффекте Саньяка, открытым этим ученым в 1913 г. [1]. Сущность вихревого эффекта заключается в следующем. Если в замкнутом оптическом контуре в противоположных направлениях распространяются два световых луча, то при неподвижном контуре фазовые набеги обоих лучей, прошедших весь контур, будут одинаковыми. При вращении контура вокруг оси, нормальной к плоскости контура, фазовые набеги лучей неодинаковы, а разность фаз лучей пропорциональна угловой скорости вращения контура. Для объяснения вихревого эффекта Саньяка разработаны три теории: кинематическая, доплеровская и релятивистская . Наиболее простая из них - кинематическая, наиболее строгая - релятивистская, основанная на общей теории относительности. Рассмотрим вихревой эффект Саньяка в рамках кинематической теории.

Рис 1.1. Кинематическая схема вихревого эффекта Саньяка.

На рис. 1.1 изображен плоский замкнутый оптический контур произвольной формы, в котором распространяются в противоположных направлениях две световые волны 1 и 2 (рис. 1.1). Плоскость контура перпендикулярна оси вращения, проходящей через произвольную точку О. Угловую скорость вращения контура обозначим W. Участок пути светового луча АВ примем бесконечно малым, его длину обозначим Dl. Радиус-вектор произвольной точки контура А обозначим r. Отрезок дуги АВ' обозначим

. При вращении контура вокруг точки О с угловой скоростью линейная скорость точки А равна

. Учитывая, что треугольник AB'B мал:

, (1.1)

где a - угол между вектором линейной скорости точки А

и касательной AM к контуру в точке А.

Проекция линейной скорости точек контура на направление вектора скорости света в этих точках

. (1.2)

Если контур неподвижен, то время обхода участка контура АВ=Dl двумя противоположными лучами одинаково; обозначим его dt.

Тогда

dt = Dl / c =

. (1.3)

При вращении контура с угловой скоростью

кажущееся расстояние между точками А и В для встречно бегущих лучей изменяется. Для волны бегущей из точки А в точку В, т.е. в направлении, совпадающем с направлением вращения контура, расстояние удлиняется, так как за время dt точка В переместится на угол

, перейдя в точку С.

Это удлинение пути для светового луча будет равно

dt, поскольку в каждое мгновение луч направлен по касательной к контуру, по этой же касательной направлена проекция линейной скорости

. Таким образом, отрезок пути, проходимый лучом, равен Dl +

dt. Рассуждая аналогично, для встречно бегущего луча света будет иметь место кажущееся сокращение отрезка пути Dl -

Считая скорость света инвариантной величиной, кажущиеся удлинения и сокращения путей для встречных лучей можно эквивалентно считать удлинениями и сокращениями отрезков времени, т.е.

(1.4)

Подставляя выражения (1.2)-(1.3) для

и dt, получаем

(1.5)

Из рис 1.1. следует

где Ds - площадь сектора

С точностью до бесконечно малых второго порядка площадь АОВ можно заменить на Ds. Тогда

(1.6)

Полное время распространения встречных лучей вдоль всего контура

, (1.7)

где суммирование ведётся по числу элементарных секторов, на которые разбит весь контур.

Таким образом, полное время, затрачиваемое лучом, бегущим по часовой стрелке при обходе всего вращающегося контура, больше чем полное время, затрачиваемое лучом, бегущим против часовой стрелки.

Разность времен

или относительное запаздывание встречных волн

, (1.8)

где S - площадь всего контура.

Если относительное запаздывание встречных волн (1.8) возникающее при вращении, выразить через разность фаз встречных волн, то она составит

, (1.9)

где

Разность фаз

является фазой Саньяка. Как видно, фаза Саньяка пропорциональна угловой скорости вращения контура.

Кинематическую теорию вихревого эффекта Саньяка ещё проще объяснить, рассматривая идеальный кольцевой оптический контур радиуса

(рис 1.2.).

Рис 1.2. Эффект Саньяка в кольцевом оптическом контуре.

Луч света приходит в точку А и с помощью зеркал

расщепляется на два луча, один из которых распространяется по часовой стрелке в контуре, а другой - против часовой стрелки. С помощью этих же зеркал, после распространения в контуре лучи объединяются и направляются по одному, пути. При неподвижном контуре пути прохождения лучей одинаковы и равны

, (1.10)

, где с - скорость света, t - время прохождения периметра контура лучом.

Оба луча приходят в точку А на расщепитель в фазе. Если контур вращается с постоянной угловой скоростью W , то луч, распространяющийся по часовой стрелке, прежде чем попадет на перемещающийся расщепитель, пройдет путь

(1.11)

Это вызвано тем, что за время прохождения луча по замкнутому контуру расщепитель, находившийся ранее в точке А, уйдет в точку В. Для луча, распространяющегося против часовой стрелки, путь

(1.12)

Как видим, пути распространения противоположно бегущих лучей разные. Поскольку скорость света с величина постоянная, это эквивалентно разным временам прохождения лучей, распространяющихся в противоположных направлениях замкнутого вращающегося контура,

Разность времен распространения

(1.13)

В приближении первого порядка по

можно записать

(1.14)

Что совпадает с выражением (1.8), полученным выше, если считать

- площадь контура.

Эффект Саньяка может быть объяснен на основе понятия доплеровского сдвига частоты. Эффектом Доплера называется явление изменения частоты колебаний, излученных передатчиком и принимаемых приемником, наблюдающееся при взаимном относительном перемещении излучателя и приемника. При этом частота принятого колебания

, (1.15)

где f - частота излученного колебания, V - скорость перемещения передатчика, а знаки «+» или «-» соответствуют сближению или удалению передатчика относительно наблюдателя.

Доплеровский частотный сдвиг

пропорционален скорости перемещения излучателя.