Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа (стр. 12 из 26)
(2.47)Полная средняя излученная мощность будет равна
(2.48)Таким образом, мы получили выражение для нахождения характеристик излученной мощности по известным статистическим характеристикам функций профиля показателя преломления, определяющих трубчатый источник тока DDS и GDS (0) или rDS (t).
Мощность основной моды P(z) на длине световода при наличии нерегулярностей затухает вследствие потерь на излучение. Если нерегулярный участок разделить на элементарные участки длиной dz, малые по сравнению с длиной z, то можно записать выражение для потери мощности моды на участке длиной dz:
, (2.49)в котором использовались соотношения (2.25),(2.26)
, (2.50)где a1 - амплитуда моды; N - параметр нормировки.
Интегрируя (50) по длине l, получаем:
[Нп/км], (2.51)где a - коэффициент затухания мощности.
Подстановка выражения для N с произвольным профилем,
,где R0 = r0 / a и использование выражения (2.51) дают
(2.52)Полученное выражение даёт возможность, подставляя R0 для различных профилей показателя преломления, определять коэффициенты затухания вследствие потерь мощности на излучение для любого профиля показателя преломления.
В практике волоконно-оптических гироскопов интерес представляют волокна с различными профилями показателя преломления. Определим необходимые для разработчиков устройства параметры волокон используемых в этой области.
Рассмотрим световод со ступенчатым профилем показателя преломления, в котором граница между сердцевиной и оболочкой по длине деформирована случайным образом, т.е.
r(z) = a + F(z) , (2.53)
где а - радиус сердцевины регулярного световода;
F(z) - функция искажения границы, которая может отражать изгибы оси, изменение радиуса сердцевины или эллиптичность поперечного сечения.
При этом в случаях
искривления оси:
F(z) = f(z) / a (2.54)
отклонения радиуса:
F(z) = - x(z) / a, (2.55)
эллиптичности:
F(z) = - h(z) cos 2j / a. (2.56)
На рис 2.2. показано изменение радиуса сердцевины. Отклонение показателей преломления регулярного и нерегулярного световодов Dn = n -
изменяется как ± (n1 - n2) в области нерегулярностей и равно нулю во всех остальных областях. Поскольку отклонения F(z) малы, можно предположить , что вынужденные токи сосредоточены в области границы сердцевины с оболочкой, поэтому имеем:Dn = (n1 - n2) d (r-a) F(z), (2.57)
a
DS = F(z). (2.58)
Рис 2.2. Нерегулярный ступенчатый световод со случайными колебаниями радиуса сердцевины и эквивалентное распределение токов.
Таким образом, нерегулярный световод заменяем регулярным, возбуждаемым трубчатым источником тока, радиус которого равен радиусу сердцевины световода, ток направлен параллельно оси x, а амплитуда его определяется выражением (2.57).
Корреляционная функция DS будет равна
,где rF (t) - нормированная корреляционная функция распределения неоднородностей по длине.
Дисперсия DS равна
DDS = KDS(0) = DF,
а соответствующая rF (t) спектральная плотность имеет вид:
В случае гауссова профиля отклонение функции профиля показателя преломления определяется выражениями полученными в [2]:
изменения радиуса сердцевины
DS(r,z) = (2 r2 / a3) x(z) exp [-(r/a)2]
случайные изгибы оси
DS(r,z) = (2 r / a2) x(z) exp [-(r/a)2]
эллиптичность сердцевины
S(r,z) = exp [-(r/(a+h(z)cos 2j)]
Определим статистические характеристики DS
для изменения радиуса сердцевины
DDS = ( 4r4/ a6 )Dx exp [-2(r/a)2] (2.59)
rDS (t) = rx (t)
для случайных изгибов оси:
DDS = ( 4r2/a4Dfexp [-2(r/a)2]
rDS (t) = rf(t)
для эллиптичности
DDS = ( 2r4/a6Dhexp [-2(r/a)2]
rDS (t) = rh(t)
Для световодов со степенным профилем показателя преломления отклонение функции профиля преломления описывается выражением :
DS(r,z) = - [q (r/a)q x(z)]/a
для флуктуаций радиуса,
DS(r,z) = q (r/a)q f(z)]/r
для случайных изгибов и эллиптичности,
Исходя из этих выражений запишем:
для флуктуаций радиуса:
DDS = (q2/a2)(r/a)2q Dx
rDS (t) = rx(t)
для случайных изгибов оси
DDS = (q2/a2)(r/a)2q Df
rDS (t) = rf(t)
для эллиптичности
DDS = (q2/2a2)(r/a)2q Dh
rDS (t) = rh(t)
На основании полученных выражений можно проводить оценку статистических характеристик волокон с различными профилями показателя преломления. Численная оценка параметров волокна обеспечивающего одномодовый режим работы показывает, что с уменьшением радиуса корреляции нерегулярностей (точности изготовления и эксплуатационных параметров) коэффициент затухания падает, причём у световодов со ступенчатым профилем показателя преломления его относительная величина превышает коэффициент затухания световода с гауссовым профилем примерно в 1.6 раза. (рис 2.3.)
В волоконно-оптической гироскопии целесообразно использование импульсной модуляции для повышения точности детектирования и дальнейшей обработки сигналов. В связи с этим представляет интерес оценка искажения импульсов при наличии различного рода неоднородностей в волоконном контуре, которые приводят к появлению невзаимностей для лучей бегущих во встречных направлениях.
Рис 2.3. Зависимость коэффициента затухания от радиуса корреляции нерегулярностей функции профиля показателя сердцевины : 1 - для ступенчатого профиля; 2 - для гауссова профиля.
(n1=1.5; D=0.01;l=1.3 мкм; V=2.4;a=2.3 мкм)
Импульсы конечной длительности, возбуждаемые реальными источниками, обладают протяженным спектром и по мере распространения по световоду уширяются, что связано как с частотной зависимостью показателя преломления, так и с волноводной (внутримодовой) дисперсией, обусловленной нелинейной зависимостью b от частоты. Оба эффекта в зависимости от природы материальной дисперсии могут комбинироваться различным образом и при определённых длинах волн обычно компенсируются .
Рассмотрим влияние волноводной дисперсии на уширение импульсов. Среднюю скорость распространения импульсного сигнала по волокну определяет групповая скорость
(2.60)которая может быть получена для различных профилей показателя преломления дифференцированием выражений для b .
Для
гауссова профиля :
1/Vгр = (wmaea1 /b)(1-2D/V)
ступенчатого профиля :
1/Vгр = (wmaea1 /b)(1-2D/V2) (2.61)
сглаженного ступенчатого профиля :
1/Vгр = (wmaea1 /b)(1-2D/V2(m+1)/(m+2))
Степень отклонения групповой скорости от полученных значений определит отклонение коэффициента распространения вследствие нерегулярностей. Отклонение коэффициента распространения вследствие нерегулярностей в случае гауссова профиля определяется в зависимости от вида нерегулярностей. Воспользуемся полученными выражениями [2].
Для
изменения радиуса сердцевины
случайных изгибов
(2.62)случайной эллиптичности
,где l0f , l0e , l0h - радиусы корреляции соответствующих нерегулярностей.
Для ступенчатого профиля показателя преломления :
(2.63)где DF и l0 - дисперсия и радиус корреляции соответствующих неоднородностей.
Численный анализ соотношений позволяет сделать выводы о том, что при прочих равных условиях наибольшее влияние на дисперсионные характеристики световодов с гауссовым профилем показателем преломления оказывают случайные изгибы оси световода, которые превышают действие нерегулярностей отражающей границы как минимум на порядок. Меньшее влияние оказывает эллиптичность сердцевины световода. Дисперсия отклонений уширения импульсов для волокон со ступенчатым профилем показателя, вне зависимости от вида нерегулярностей, одного порядка со случайными изгибами оси световода с гауссовым профилем показателя преломления.
Таким образом полученные соотношения описывают математическую модель нерегулярных одномодовых волоконных световодов с произвольной формой поперечного сечения и произвольным профилем показателя преломления. При этом не требуется привлечение сложного математического аппарата, численных или графических методов. Это дает возможность наиболее просто анализировать особенности технологии изготовления различных волоконных световодов и принимать решения по улучшению их качественных характеристик при использовании в волоконной гироскопии.