Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа (стр. 11 из 26)

Распределение плотности мощности или профиль интенсивности S(r) имеет вид :

, (2.17)

где e,m - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.

С увеличением расстояния от оси световода интенсивность падает экспоненциально. При меньших значениях V спад происходит медленнее, поэтому чем меньше V, тем меньшая часть полной мощности распространяется вблизи оси волокна. Доля мощности, распространяющейся в интервале от 0 до r, равна

(2.18)

Таким образом в световодах с малым V распространяющееся излучение захватывает большую область поперечного сечения. Поскольку в практических ситуациях такое положение нежелательно, ограничение на V >1 (2.14) не важно. Практический интерес представляет определить ширину a профиля показателя преломления, при которой мощность пучка света будет наиболее сильно концентрироваться вблизи оси волокна при фиксированных значениях D и длины волны излучения, т.е. определить значение радиуса сердцевины, обеспечивающего минимальный размер пятна r₀. Дифференцируя (2.14) по a и учитывая, что согласно (2.16) V пропорционально a, получим оптимальное значение a, соответствующее V=2, т.е.

) (2.19)

При V = 2 имеем r₀ = a, т.е. распределение интенсивности S(r) совпадает с формой профиля показателя преломления.

В случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления:

(2.20)

( S =1, f = 0 при r £ a и S =0, f =1 при r > a).

Следуя методике определения r₀ и b для световодов с гауссовым профилем, получаем

(2.21)

(2.22)

Все физические процессы имеющие место в волокнах с гауссовым профилем преломления, справедливы и для волокна со ступенчатым профилем. Радиус сердцевины a, обеспечивающий максимальную концентрацию света в волокне, определим в данном случае из условия V = exp(1/2) » 1.65 что соответствует

(2.23)

Таким образом, плотность мощности в ступенчатом волоконном световоде выше на 17%. Доля мощности, распространяющейся в пределах радиуса r, будет равна

(2.24)

Получим основные характеристики одномодовых световодов на основе выводов сделанных ранее. Рассмотрим амплитуду излучения и мощность распространяющихся мод.

Для j - й вперёд и назад распространяющихся мод полная мощность определяется соотношениями :

(2.25)

, (2.26)

где N_j , N_-j - параметры нормировки.

Полная мощность, возбуждённая во всех направляемых модах, будет равна

(2.27)

Если световод является слабонаправляющим и круглым, а источники тока излучают вдоль оси x поперечного сечения световода, то мощность в каждой моде равна

(2.28)

где b_l - скалярные постоянные распространения;

Y_l- решение скалярного волнового уравнения (2.11).

Для определения мощности излучения воспользуемся приближением свободного пространства, суть которого сводится к замене слабонаправляющего световода неограниченной однородной средой с показателем преломления оболочки n₂ . В большинстве практических случаях излученная мощность достаточно точно описывается в рамках этого приближения.

Решение уравнений Максвелла для полного поля в световоде с произвольным показателем преломления, согласно методике, приведённой в [2], можно выразить через векторный потенциал А, декартовы составляющие которого удовлетворяют уравнению

, (2.29)

где

- распределение плотности тока; Ѳ - скалярный оператор Лапласа. Решение уравнения (2.29) для каждой составляющей выражается через функцию Грина в виде

, (2.30)

где V - объём, в котором распределены источники тока;

- радиусы-векторы точки наблюдения поля и точки расположения источника соответственно (рис 2.1.а).

Функция Грина находится путём решения соответствующего уравнения для свободного пространства с показателем преломления n₂ и имеет вид

, (2.31)

где

, а c - угол между векторами и .

Подстановка (2.31) в (2.30) приводит к выражению

, (2.32)

где

a)

б)

Рис 2.1. Возмущение поля в точке P источником с плотностью тока J в точке Q (а) и сферические полярные координаты точек Р и Q (б).

Достаточно далеко в оболочке поля всех источников являются локально плоскими и имеют вид .

(2.33)

(2.34)

Отсюда запишем полную мощность излучения в виде

, (2.35)

где с - скорость света; S_¥ - сферическая поверхность с радиусом ¥; W - пространственный угол; S = | r | - радиус среды; - единичный вектор, параллельный радиальному вектору.

Если векторы P и Q выразить в сферической системе координат (S,Q,j) (рис 1.б), которая ориентирована так, что если угол j равен нулю, радиус-вектор расположен в плоскости Z, то уравнение (2.35) с использованием (2.32) и (2.33) можно записать так

, (2.36)

где M_q и M_j , q и j - составляющие вектора

в точке Р

В случае поперечно-ориентированного источника (токи параллельны оси x) вектор

будет иметь только составляющую М_х. Полную излученную мощность можно определить подстановкой в (2.36):

(2.37)

Здесь q₀ - угол, под которым происходит излучение источника к оси световода. Из рис 2.1.б следует, что

, (2.38)

где a = S^/ sin (q^/) и z = S^/ cos (q^/) на трубке.

Подставляя (2.38) и (2.37) в (2.33) получаем

(2.39)

Интеграл по j^/ является интегральным представлением функций Бесселя первого рода, нулевого порядка и тогда

, (2.40)

где J₀(...) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Запишем величину плотности тока трубчатого источника (2.5) с учетом выражения полученного в [2]

(2.41)

где DS(r,z) - отклонение функции профиля показателя преломления вследствие нерегулярностей.

(2.42)

Подставив (2.41) в (2.40) получим

, (2.43)

где B =

Поскольку М_x является случайной величиной, в (2.36) необходимо подставить средний квадрат <| М_x |²>. Воспользовавшись результатами полученными в [3] запишем

, (2.44)

где D_DS - дисперсия функции профиля показателя преломления; r_DS (t) - нормированная корреляционная функция распределения неоднородностей по длине световода DS (r,z).

При радиусе корреляции l₀<<l

, (2.45)

где G_DS (0) - спектральная плотность распределения неоднородностей по длине световода, определяемая соотношением :

(2.46)

Поскольку аргумент спектральной плотности должен быть равен нулю, находим величину угла, под которым в среднем происходит излучение