Рис.4.3. Вольт - амперная характеристика диода Ганна. ~~~~~~~~
В результате дифференцирования было получено
Vs U 3
|~ M0 + 4 ---4 ( --- )
di q n S | Ep L
Yd = ---- = ----- * | --------------------------- -- dU L | U 4
|_ 1 + ( ----- )
L Ep
U U 4
3 M0 --- + Vs ( ----- ) ~|
U L L Ep |
-- 4 * ------ * ---------------------------- | (4.16)
3 4 U 4 2 |
L Ep ( 1 + ( ----- ) ) _|
L Ep
Итак, решая систему (4.1-4.4) с подстановками (4.13),
(4.14), (4.16), можно получить значения токов i1, i2 и
.
напряжений Uab, Ucd в некоторый момент времени. Но выражение
(4.8), а следовательно и выражения (4.10) и (4.11) были
Yd,См.|
|
-1 |
1*10 +
-2 |
9*10 +
|
=
-3 |
1*10 +
| 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 U,B.
+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+--->
-3 |
1*10 +
-3 |
2*10 +
-3 |
3*10 +
-3 |
4*10 +
-3 |
5*10 +
-3 |
6*10 +
|
Рис.4.4. Зависимость проводимости диода Ганна от напряжения ~~~~~~~~
питания.
выведены без учета вибрации. Учесть гармоническую вибрацию
нагрузки можно подставив l ( расстояние до объекта ) в виде
l = 2 [ l0 + A sin ( Wв t ) ] / , (4.17)
где l0 - начальное расстояние до объекта, Wв - частота
вибрации, А - амплитуда вибрации. Можно также учесть линейное
перемещение объекта, введя в рассмотрение линейную скорость V,
тогда
l = 2 [ l0 + A sin ( Wв t ) + V t ] / (4.18)
Система (4.1-4.4) решалась с учетом изменения расстояния
до объекта (4.18). Аналитическое решение этой системы не
представляется возможным, поэтому система была решена на ЭВМ с
помощью метода Рунге-Кутта для систем дифференциальных
уравнений [13]. Вычисления проводились для десяти точек на
период в режиме самосогласования частоты. Проводился
расчет трех предполагаемых периодов, после чего вычислялась
частота по последнему реальному периоду. Если предполагаемая
и вычисленная частоты различались более чем на 10 %,
вычисления продолжались для следующих трех периодов, после
чего проводилось сравнение новой частоты с ранее найденной.
Это продолжалось до согласования старой и новой частот с
заданной точностью. Результаты представлялись в виде матрицы
токов и напряжений Uab, Ucd, i1, i2 для трех периодов, которая
в дальнейшем использовалась для нахождения величины
продетектированного сигнала (4.19), мощности СВЧ сигнала на
нагрузке (4.20) и спектров токов на диоде и нагрузке.
T н R
Vдет = --- i1 dt (4.19)
T
0
T н 1
Pсвч = --- Ucd i2 dt (4.20)
T
0
Спектр токов i1 и i2 находился методом разложения функций
i1(t) и i2(t) в ряд Фурье [14,15].
a0
f(t) = --- + [ ak cos( k W t ) + bk sin( k W t )], (4.21)
2
k=1
где
T
2
ak = --- f(t) cos( k W t ) dt (4.22)
T
0
T
2
bk = --- f(t) sin( k W t ) dt, (4.23)
T
0
где f(t) - функции i1(t) или i2(t), W - частота сигнала, k -
номер гармоники, k = 1, 2, 3, ... . Амплитуда и фаза k-й
гармоники находятся по формулам (4.24) и (4.25)
соответственно.
____________
/ 2 2
Ak = \/ ak + bk (4.24)
Фk = - arctg( bk/ak ) (4.25)
Интегралы в выражениях (4.19), (4.20), (4.22), (4.23)
вычислялись методом трапеций [16]. Метод трапеций, хотя и
является менее точным по сравнению с методом Гаусса и правилом
Симпсона, но его точности вполне хватает для решения
поставленной задачи. Кроме того, он позволяет сократить
затраты машинного времени, что имеет немаловажное значение.
В целях уменьшения затрат машинного времени программа
моделирования работы автодина на диоде Ганна была написана на
языке высокого уровня Си [17]. Программа реализована на
персональной ЭВМ " Электроника МС 0507 " ( см. приложение 1 ).
Программы приведена в приложеннии 3, а ее описание в
приложении 2.
Для расчета были выбраны следующие начальные данные:
2 15 -3
fg = 10 ГГц, М0 = 6000 В/(см * с), n = 10 см., U0 = 4.5 В,
2 6
L = 10 мкм, S = 100 * 100 мкм, Vs = 8.5 * 10 см/с, Ep = 4000
В/см, G = 1, = 1, Yn0 = 0.01 См, Ys = 0.05 См, Ск0 = 0.45 пФ,
Cd = 0.25 пФ, Lк = 0.45 нГн, Ln0 = 0.45 нГн. Расчеты
проводились в предположении отсутствия затухания сигнала
( постоянная затухания = 0 ). Кроме того, считалось, что
проводимость нагрузки состоит только из проводимости волновода
и проводимости отражающей поверхности. На практике же она
включает проводимость волновода, проводимость антенны,
проводимость открытого пространства и проводимость отражающей
поверхности. Все вышеидущие формулы выведены с учетом этого
предположения.
В качестве граничных условий для решения системы
дифференциальных уравнений выбраны значения Uab = 0.8 В,
Ucd = 0.5 В, i1 = 0.01 А, i2 = 0.007 A.
Однако в процессе вычислений было установлено, что метод,
реализованный в программе Hann.sav пригоден только для расчета
процессов, происходящих в автодинном генераторе с неподвижной
нагрузкой. Это главным образом обусловлено большими затратами
машинного времени. Приведу следующий пример: пусть объект
совершает колебания с частотой 10 кГц., частота зондирующего
сигнала 10 ГГц.; таким образом, чтобы рассчитать воздействие
вибрации объекта на автодин, необходимо провести расчет хотя
6
бы за один период вибрации, т.е. за 10 периодов зондирующего
сигнала. Расчет одного периода зондирующего сигнала занимает
около пяти минут машинного времени, т.е. данный расчет
потребует 9.5 лет.
Это препятствие было устранено следующим образом: с
помощью программы Hann.sav были проведены расчеты величины
продетектированного сигнала и СВЧ - мощности на нагрузке для
случая неподвижного объекта и получены их зависимости от
расстояния до исследуемого объекта. Была проведена
аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
( расчет проведен на микрокалькуляторе "Электроника МК - 52" с
использованием стандартного пакета программного обеспечения
БРП - 3 ) в результате чего получены следующие выражения:
н -3 -4
Pсвч( L ) = 3.57*10 - 2.24*10 L +
-3 -4
+ ( 0.61*10 - 2.20*10 L ) sin( 4 L / ) (4.26)
н -1 -2
Vдет( L ) = 3.45*10 - 2.35*10 L +
-1 -2
+ ( 2.36*10 - 2.01*10 L ) sin ( 4 L / ) (4.27)
Изменяя расстояние до исследуемого объекта L по закону н н
(4.28) и вычислив средние значения Рсвч( L ) и Vдет( L ) за
период вибрации (4.29), (4.30), были вычислены значения СВЧ -
мощности на нагрузке и величина продетектированного сигнала в
случае вибрирующего объекта.
L( t ) = L0 + dL sin( Wв t ) (4.28)
Tв в 1 н
Pсвч = --- Pсвч( L(t) ) dt (4.29)
Тв
0
Тв в 1 н
Vдет = --- Vдет( L(t) ) dt, (4.30)
Тв
0
где Тв - период вибрации.
Для проведения этих расчетов была написана программа
Vibro.sav ( см. Приложение 4. ). Вычисления проводились в
диапазоне частот вибрации от 1 кГц. до 10 кГц. для
десяти фиксированных значений амплитуды вирации:
dL = 0.01 см., 0.1 см., 0.25 см., 0.5 см., 0.75 см., 1 см.,
1.5 см., 2 см., 3 см. ( что соответствует длине волны
зондирующего сигнала ) и 5 см.
5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Моделирование процессов в автодине проводилось в два
этапа. На первом этапе необходимо было найти параметры
автодина при работе с неподвижным исследуемым объектом. В
качестве этих параметров были выбраны величины, легко
поддающиеся практическому измерению: частота генерации,
мощность СВЧ - сигнала на нагрузке и величина
продетектированного на диоде сигнала. Были проведены
вычисления этих параметров в зависимости от расстояния до
исследуемого объекта и от напряжения питания на диоде Ганна.
Кроме того, была получена зависимость частоты СВЧ -
сигнала от питающего напряжения при работе автодина на
согласованную нагрузку ( коэффициент отражения G = 0 ),
которая приведена на рисунке:
fg,ГГц.
|
15 +
|
14 + *
|
13 +
|
12 + *
|
11 +
| *
10 + *
|
+----+----+----+----+----+---->
4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 U,В.
Рис. 5.1. Зависимость частоты СВЧ - сигнала от напряжения ~~~~~~~~~
питания при работе на согласованную нагрузку.
На рисунке виден резкий рост частоты СВЧ - сигнала при
напряжении питания более 5 В, что недопустимо для используемой
волноводной системы ( 10 * 23 мм. или 12.5 * 28.5 мм. ) по
причине существования критической длины волны:
2 2 -1/2
кр = 2 / [ (m/a) + (n/b) ] , (5.1)
где a, b - размеры стенок волновода, m, n = 0, 1, 2, ... .
В данной волноводной системе могут существовать СВЧ -
сигналы с частотами 8 - 12 ГГц. ( 7 - 10 ГГц. ). Поэтому
практически результаты моделирования могут использоваться при
напряжениях питания 4.4 - 5.3 В. Однако, в дальнейшем будут
рассматриваться и другие напряжения питания ( до 7 В. ) для
моделирования работы системы в других диапазонах и для
нахождения зависимостей параметров от напряжения питания.
На рис. 5.2 приведена зависимость СВЧ - мощности на
нагрузке от расстояния до исследуемого объекта и напряжения
питания. Она является периодической зависимостью с периодом
/2, где - длина СВЧ - волны для данного напряжения
питания ( (4.5В) = 3 см., (5В) = 2.7 см., (5.5В) = 2.4 см.,
(6В) = 2 см. ). По характеру зависимость близка к
синусоидальной, поэтому она была аппроксимирована функциией
вида (4.26) для дальнейшего использования. Коэффициенты этой
зависимости меняются с изменением напряжения питания. На рис.
5.3 приведена зависимость СВЧ - мощности на нагрузке при
расстоянии до объекта L = n /4, n = 0,1,2, ... от напряжения н
питания, а на рис. 5.4 зависимость амплитуды функции Pсвч(L)
от напряжения питания. Эти зависимости действительны в
интервале L = (0 - 5) . С увеличением напряжения питания
происходит уменьшение СВЧ - мощности на нагрузке и уменьшение
н
амплитуды функции Рсвч(L). При напряжении питания 6.5 - 7.0 В
СВЧ - мощность преобретает значение 2.78 мВт. и перестает
изменяться с дальнейшим увеличением питающего напряжения,
н
а амплитуда функции Рсвч(L) --> 0.
Аналогично была проанализирована зависимость величины
продетектированного сигнала от расстояния до объекта и
напряжения питания ( см. Рис. 5.5 ). Эта зависимость также
близка к синусоидальной, поэтому она была аппроксимирована фун-
кцией вида (4.27). На рис. 5.6 и рис. 5.7 приведены зависимости
величины продетектированного сигнала при L = n /4, n = 0, 1,
2, ... и амплитуды функции Vдет(L) от напряжения питания.
н н
Из анализа зависимостей Рсвч(L,U) и Vдет(L,U) можно
сделать вывод, что измерения выгоднее проводить при напряжении