Теории электрической связи: Расчет приемника, оптимальная фильтрация, эффективное кодирование (стр. 3 из 6)

(3.1.)

Рассмотрим случай, когда шум на входе фильтра имеет равномерный энергетический спектр G(w)=n₀² (белый шум). Сигнал может быть задан своей временной функцией S(t) или комплексным спектром.

комплексный коэффициент передачи фильтра представим в форме:

тогда для сигнала и дисперсии шума на выходе фильтра можно записать:

(3.2.)

(3.3.)

Примем t₀ – как некоторый фиксированный момент времени, при котором амплитуда на выходе фильтра достигает своего максимального значения. Для этого значения времени получим:

(3.4.)

отношение квадрата пикового значения сигнала к дисперсии шума в момент времени t₀ будет равно:

(3.5.)

Дальше задача сводиться к отысканию коэффициента передачи K_опт(jw), обеспечивающего максимум значения h². Для этого можно воспользоваться неравенством Шварца-Буняковского для комплексных функций.

(3.6.)

данное неравенство превращается в равенство только при условии:

, где а – некоторая постоянная. (3.7.)

Подставляя неравенство (3.6.) в (3.7.), замечаем, что максимум величины h² обеспечивается при выполнении условия:

(3.8.)

из последнего выражения получим:

K(w)=aS(w), j_K(w)+j_S(w)+wt₀=0

Откуда находим:

j_K(w)+j_S(w)+wt₀=0

j_K(w)=-j_S(w)-wt₀.

Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением:

(3.9.), где * обозначает комплексно-сопряженную величину. Тогда отношение сигнал/шум в момент времени t₀ будет равно:

, где E – энергия сигнала на входе фильтра. Величина h_m² определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.

Пояснения к полученным результатам.

АЧХ оптимального фильтра отличается постоянным множителем от амплитудного спектра сигнала, поэтому оптимальный фильтр пропускает различные частотные составляющие сигнала неравномерно с тем большим ослаблением, чем меньше интенсивность этих составляющих, в результате полная мощность шума на выходе фильтра получается меньшей, чем при равномерной АЧХ.

Заметим, что член выражения wt₀для фазовой характеристики означает сдвиг во времени на величину t₀ всех частотных составляющих сигнала. Приведенные равенства означают, что в момент времени t₀ все спектральные составляющие сигнала фильтра имеют одну и ту же начальную фазу. Оптимальный фильтр обеспечивает компенсацию начальных фаз составляющих сигнала. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t₀ пиковый выброс выходного сигнала. На составляющие шума, имеющие случайные начальные фазы, оптимальный фильтр таково влияния не оказывает.

Вследствие этих двух причин оптимальный фильтр обеспечивает максимум пикового напряжения сигнала к среднеквадратичному значению шума.

Так как частотные характеристики оптимального фильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, полностью определяются спектром (т.е. формой) сигнала, то говорят, что они согласованы с сигналом, а такой фильтр называют согласованным для данного сигнала. Следует отметить, что оптимальный фильтр для сигнала S(t) будет являться оптимальным и для всех сигналов той же формы, но отличающихся от него амплитудой, временным положением и начальной фазой заполнения (для радиоимпульсов).

Полученные выше результаты относятся к случаю приема сигналов с белым шумом. Рассматривая более общий случай, когда шум имеет неравномерную спектральную плотность G_n(w), можно показать, что передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением

(3.10.)

Оптимальный фильтр в этом случае можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров. Первый из них имеет амплитудно-частотную характеристику

, его назначение – “обелить” шум, который поступает на вход фильтра. Второй фильтр с передаточной характеристикой K₂(jw) является оптимальным для искаженного сигнала (после первого фильтра), но уже при белом шуме.

Здесь интересно отметить следующее обстоятельство.Если квадрат амплитудно-частотного спектра сигнала совпадает по форме со спектральной плотностью шума, т.е.

, то АЧХ оптимального фильтра должна быть равномерной (K(w)=K=const).

Определим импульсную переходную функцию согласованного фильтра. Импульсной переходной функцией называется отклик цепи на короткий импульс (дельта-функция). Она связана с передаточной характеристикой преобразование Фурье:

(3.11.)

Так как для согласованного фильтра

, то для g(t) получим

(3.12)

Таким образом, импульсная переходная функция согласованного фильтра для сигнала S(t) отличается от временной функции, описывающей этот сигнал, только постоянным множителем, смещением во времени на величину t₀ и знаком аргумента t. Другими словами, импульсная переходная функция согласованного фильтра является зеркальным отражением временной функции сигнала, сдвинутым на величину t₀.

Величина t₀ выбирается из условия физической реализуемости фильтра, согласно которому отклик цепи не может опережать воздействие. Если на вход фильтра подается дельта-функция в момент времени t=0, то отклик (импульсная реакция) фильтра может появиться лишь при t>0. Только при выполнении этого условия может быть использована вся энергия сигнала для создания пикового выброса в момент времени t=t₀. Обычно выбирают t₀=T. Можно сделать вывод, что согласование сигналов возможно лишь для сигналов конечной длительности, т.е. импульсных сигналов.

4. Передача аналоговых сигналов методом ИКМ.

Согласно теореме отсчетов непрерывный сигнал можно передавать мгновенными значениями этого сигнала (отсчетами), следующими с определенной частотой повторения. Последняя должна быть больше не менее, чем в 2 раза передаваемой частоты входного сигнала. Такое представление сигала во времени называется дискретизацией.

Информация о мгновенном значении входного непрерывного сигнала может быть передана в сторону приемника непосредственно в форме отсчетов – амплитудно-модулированных импульсов, взятых в определенные временные моменты, причем длительность импульсов, как правило очень мала по сравнению с периодом их повторения. В интервалах между двумя соседними отсчетами одного сигнала последовательно во времени можно разместить отсчеты других передаваемых сигналов, а на приемной стороне эти отсчеты распределить между каналами.

В основе амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) лежит передача сигналов в виде импульсов, промодулированных по амплитуде. Под влиянием помех, возникающих в тракте передачи, происходят случайные изменения формы и амплитуды передаваемых импульсов, что при восстановлении исходного непрерывного сигнала проявляется в виде дополнительного шума. Физически уменьшение этого шума возможно лишь за счет снижения уровня помех в тракте передачи, что практически приводит к уменьшению дальности связи.

Изменение амплитуды однако можно передавать в виде изменения длительности импульсов. Амплитуда широтно-модулированных импульсов (ШИМ) постоянно, при этом удается снизить влияние внешних помех при передаче импульсов, что дает возможность значительно увеличить дальность связи.

Передача информации путем изменения положения импульса постоянной амплитуды и длительности лежит в основе время-импульсной модуляции (ВИМ).

Описанные виды импульсной модуляции (АИМ, ШИМ, ВИМ) соотносятся как обычные (АМ, ЧМ, ФМ) и являются аналоговыми методами импульсной модуляции, общим недостатком которых являются жесткие требования к параметрам линии связи, т.к. помехи, которые накладываются на передаваемый модулированный импульс, изменяют его форму, что в приемнике отражается как дополнительный шум. Этот шум значительно увеличивается при передаче информации на большие расстояния, т.к. искажения импульсов отдельных участков складываются. Технические ограничения, накладываемые на приведенные выше способы импульсной модуляции вели к дальнейшему поиску способов , при которых для передачи информации можно было полностью перейти к чисто цифровой форме сигнала, передаваемого по тракту передачи. Результатом этого поиска явилась импульсно-кодовая модуляция (ИКМ).