Теории электрической связи: Расчет приемника, оптимальная фильтрация, эффективное кодирование (стр. 2 из 6)

ДИСКРЕТНАЯ ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ (ДЧМ).

Сигнал, поступающий на вход приемника, при данном виде модуляции имеет вид:

При частотной модуляции сигналы S₁(t) и S₂(t) являются взаимоортогональными, в связи с этим функция взаимной корреляции равна нулю. И так как амплитуды сигналов S₁(t) и S₂(t) равны, то Е₁=Е₂. В результате чего Е_э=2Е₁, а аргумент функции Крампа будет равен: h₀.

Поэтому подставляя эту величину в формулу вероятности получим:

- вероятность ошибки, при ДЧМ. (5)

S₁

ДЧМ

рис. 6

0 S₂

На рис.6 представлена векторная диаграмма ДЧМ, на которой можно заметить, что расстояние между векторами (взаимоортогональные сигналы) равно

. Заметим, что по сравнению с ДАМ, мы получаем двойной выигрыш по мощности.

ДИСКРЕТНАЯ ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ (ДФМ).

При ДФМ сигнал, поступающий на вход приемника имеет следующий вид:

В данном случае аргумент функции Крампа будет равен:

Поэтому подставляя эту величину в формулу вероятности ошибки получим:

(6)

S₁

ДФМ 0 рис.7

S₂

Из приведенной векторной диаграммы видно, что расстояние между векторами сигналов равно 2S₁. Энергия пропорциональна квадрату разности сигналов.

Заметим, что по сравнению с ДАМ мы получим четырехкратный выигрыш по мощности.

Следует уточнить, что приведенные данные о энергии сигналов ДАМ, ДЧМ и ДФМ относятся к пиковым мощностям этих сигналов. В этом смысле при переходе от ДЧМ к ДАМ мы имеем двукратный выигрыш в пиковой мощности, однако при ДАМ сигналы имеют пассивную паузу, т.е. мощность сигналов в паузе равна нулю, поэтому по потребляемой передатчиком мощности, кроме проигрыша по мощности, имеется еще и двукратный выигрыш. С учетом этого, при переходе от ДЧМ к ДАМ проигрыш по мощности компенсируется двукратным выигрышем за счет пассивной паузы ДАМ, в результате чего по потребляемой мощности эти сигналы оказываются равноценными, однако при ДАМ трудно установить необходимый порог в сравнивающем устройстве, а при приеме сигналов ДЧМ регулировка порога не требуется, в связи с этим свойством ДЧМ применяется чаще, чем ЧАМ.

Вероятность ошибки зависит от вероятности некорректного приема сигналов S₁и S₂, но при применении приемника Котельникова предполагается что канал связи – симметричный, т.е. совместные вероятности передачи и приема сигналов

S₁и S₂ равны. Исходя из этого запишем формулу вероятности ошибки:

(7)

Возьмем формулу 7 за основу для определении вероятности ошибки в приемнике Котельникова.

Предположим, что нам известно, что на вход приемника поступает сигнал S₁(t). в этом случае используя правило приемника Котельникова, в котором должно выполняться следующее неравенство:

(8)

При сильной помехе знак неравенства может измениться на противоположный, в результате чего вместо сигнала S₁(t) на вход может поступить сигнал S₂(t), т.е. произойдет ошибка. Поэтому вероятность ошибки можно рассматривать, как вероятность изменения знака неравенства (8). Подставляя вместо x(t)=S₁(t)+n(t). Преобразовывая получаем:

(8)

Вероятность ошибки в приемнике Котельникова, выраженная, через эквивалентную энергию Е_э, которая представляет собой разность сигналов S₁(t) и S₂(t) и будет определяться формулой:

Формулы вероятности ошибки для ДАМ, ДЧМ и ДФМ. Приведены соответственно: 6, 5, 4.

2.1.2. Преобразование приемника Котельникова применительно к фазовой модуляции.

Приемник Котельникова, являющийся идеальным и обеспечивающий оптимальную помехоустойчивость использует для приема и распознавания информации, передаваемой по каналу связи все параметры передаваемого сигнала (фаза, частота, амплитуда), кроме того в приемнике Котельникова, в отличии от реального приемника отсутствуют фильтры на входе, обеспечивающие фильтрацию помех. Схема приемника Котельникова приведена на рис. . В качестве опорного генератора применим фазовый опорный гетеродин. Схема преобразованного приемника приведена на рис.8.

Рис.8

Вычислим отношение энергии сигнала Е к спектральной плотности N₀.

Энергия сигнала при фазовой модуляции вычисляется по формуле:

E_э=Pc T (2.1.)

, откуда отношение энергии к спектральной плотности сигнала будет равно:

;

Найдем вероятность ошибки в приемнике Котельникова, применительно к фазовой модуляции.

; (2.2.) ; .

Из сравнения потенциальной помехоустойчивости приемника Котельникова с потенциальной помехоустойчивостью когерентного приемника с фазовой модуляцией, можно сделать вывод, что помехоустойчивость приемника, использующего в качестве информационного параметра фазу, почти приближена к вероятности ошибки приемника Котельникова.

3. Оптимальная фильтрация.

Отметим, что оптимальный приемник, является корреляционным, сигнал на его выходе представляет собой функцию корреляции принимаемого и ожидаемого сигналов, благодаря чему обеспечивается максимально-возможное отношение сигнал/шум.

Так как определение функции корреляции является линейной, то её можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого являются такими, что отношение сигнал/шум на его выходе получается максимальным. Задача оптимальной фильтрации непрерывного сигнала ставится так, чтобы обработав принятый сигнал, получить на выходе приемника сигнал, наименее отличающийся от переданного сигнала. Решение этой задачи основывается на трех основных предположениях:

1. Сигнал S(t) и помеха w(t) представляют собой стационарные случайные процессы;

2. Операция фильтрации предполагается линейной;

3. Критерием оптимальности считается минимум среднеквадратичной ошибки.

Рассмотрим задачу синтеза фильтров, которые используются в схемах обнаружения и различения дискретных сигналов. Как правило эти фильтры ставятся перед решающим устройством, задача которого – вынести решение в пользу того или иного сигнала. Нужно отметить важное обстоятельство, что при приеме дискретных сигналов нет необходимости заботиться о сохранении формы сигнала. Основная задача – обеспечить минимум ошибочных решений при приеме сигналов. Очевидно, что вероятность ошибочного приема будет уменьшаться. Поэтому при синтезе фильтров для дискретных сигналов используется критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Фильтры, удовлетворяющие данному критерию могут называться оптимальными фильтрами, или фильтрами, максимизирующими отношение сигнал/шум.

На вход фильтра с передаточной функцией K(jw) подается смесь сигнала S(t) и помехи n(t). Полагаем сигнал полностью известным, неизвестным считается лишь факт его присутствия. Известны также статистические характеристики шума (помехи). Требуется синтезировать такой фильтр (т.е. К_опт(jw)), который обеспечивал бы на выходе в заданный момент времени (момент принятия решения) t₀ наибольшее отношение пикового значения сигнала y(t₀) к среднеквадратичному шуму s_n: