Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени (стр. 7 из 9)
Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом :
, где 
, в котором 
Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад:
, где 
, 
Векторы
и 
должны удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка: 
Используя тот факт, что
является эрмитовой матрицей имеем следующие выражения для 
и 
: 
Введем скалярные множители
Соответствующие рекуррентные выражения для
и 
имеют следующий вид : 
Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора
:
Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением :
Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед :
Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением :
Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания назад :
, 
где комплексный скаляр
удовлетворяет выражениям : 
Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров
и 
даются следующими выражениями: 
, 
Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод
1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов
1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .
Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чем авторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть
- системная функция СС(q)-процесса 
-системная функция АР-процесса,эквивалентного этому СС(q)-процессу, то есть
Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим:
причем 
Таким образом, СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки высокого порядка
можно записать следующую систему уравнений : 
В идеальном случае ошибка
должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m=0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки: 
Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо
«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)
Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида :
, где 
- оценкиавторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна
, поэтому 
Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией
, получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид : 
, где