Анализ структуры цен на фондовом рынке (стр. 9 из 16)
где матрица
имеет размерность(N-1)xN.
Имеем 
где
- вектор, размерность которого 
.Причем
.Здесь
где
, 
.Размерность
равна 
. У вектора 
размерности 
компонента с индексом 
равна 
, с индексом 
- равна 
, остальные компоненты нулевые.Относительно регрессоров принимаем допущение
Допущение 6. У матрицы
размерности 
столбцы линейно независимы.Лемма 2. Пусть выполняется допущение 6, элементы матрицы
.Тогда матрица M имеет полный ранг.
Доказательство. Необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов
(существование полного ранга у M) – выполнение равенства 
(22)для всех
*.Из (22) имеем две системы уравнений
, 
(23)Количество уравнений в первой системе -
, во второй - 
. Первую систему в развернутом виде можно представить как N систем уравнений
(24)Вторую систему уравнений в (23) в развернутом виде представим так:
, (25)где
, 
- k-я компонента вектора .Обратимся к первому уравнению в (25), коэффициенты которого
, 
, 
. Отсюда следует 
.Рассуждая аналогично, получим из остальных уравнение в (25)
(26)
Из этого соотношения и (24) получаем систему уравнений
, где 
, 
. Согласно условию леммы, ее решение 
. Отсюда и из (26) следует 
. Лемма доказана.Для определения оценок параметров регрессии с переключениями свернем два критерия в один.
Теорема 8. Если выполняются условия леммы 2,
, где 
- выпуклое множество, то P - оценка параметров регрессии (19), соответствующая критериям (20), (21), является решением задачи 
(27)
Доказательство. Квадратичный член функции цели 
имеет вид
Но M, согласно лемме 2, имеет полный ранг. Поэтому квадратичная форма
положительно определена и, следовательно, (27) имеет единственное решение. Отсюда следует утверждение теоремы:Можно показать, что свойства критериев такие же, что и приведенные в разделе 1. Поэтому единственная компромиссная P-оценка параметров регрессии с переключениями, соответствующая значению r = r*, может быть найдена по правилам, описанным в этом разделе, т.е.
, функции 
определены в (18), 
. Здесь 
[7, 14]Описанный алгоритм оценивания реализован в пакете программ «ПРОГНОЗ».
Для нахождения коэффициентов регрессии и их среднеквадратических ошибок применяется пакет программ «ПРОГНОЗ».
Пакет программ «ПРОГНОЗ» предназначен для создания линейных по параметрам регрессионных моделей и моделей временных рядов с переменными или постоянными во времени параметрами. Полученные модели используются для многофакторного прогнозирования по уравнениям регрессии и однофакторного прогнозирования по модели временного ряда. Кроме того, пакет позволяет проводить предварительный анализ данных по выборке: оценивать математическое ожидание и дисперсию, взаимную корреляционную матрицу, проверять гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
Пакет ориентирован на персональные компьютеры (ПК) типа IBMPCXT/AT и совместимые с ними. Информация для расчетов находится в базе данных, создаваемой с помощью СУБД типа dBase, foxbase, Карат и т.п. БД состоит из двух файлов. Первый файл содержит числовые данные о переменных: каждое поле – одна переменная. Второй файл содержит справочник русских названий полей, а также название единицы отсчета данных (месяц, год, и т.п.).
Пакет «Прогноз» может быть использован для решения различных задач моделирования и прогнозирования. К ним относятся:
1) прогнозирование курса валют, акций, индексов цен различных товаров;
2) многофакторный прогноз себестоимости продукции;
3) определение норм расхода материалов и энергоносителей;
4) прогнозирование качества продукции по некоторым факторам (например, определение механического свойства металлопродукции по ее химическому составу);
5) анализ и прогнозирование инвестиционных процессов.
Регрессионная модель с переменными параметрами
Рассмотрим модель вида
, (4)где t- номер наблюдений. В качестве регрессора zt используются линейные или нелинейные функции от исходных переменных xj, имеющихся в БД. Параметры в модели (4) могут меняться от наблюдения к наблюдению, либо быть постоянными на некоторых отрезках времени, задаваемых пользователем (регрессия с переключениями).
2.1. Параметры модели изменяются на каждом шаге. В этом случае используются два алгоритма. Первый алгоритм основан на постепенном забывании предыстории путем придания «старым» наблюдениям меньшего веса. Причем в течении некоторого периода времени веса всех наблюдений одинаковы, а от периода к периоду изменяются по показательному закону. Параметры регрессии в (4) оцениваются рекуррентно:
, t = 1, 2, … 
, 
где
; 
; 
,если t-е наблюдение – первое в
-ом периоде постоянства весов, сt= 1 в противном случае.Второй алгоритм оценивания параметров регрессии в (4) основан на трактовке задачи оценивании как двухкритериальной. Первый критерий –
,