ТЭС - расчет канала (стр. 2 из 5)
Вероятность ошибки в таком приемнике определяется формулой:
(4.1)где
- эквивалентная энергия.Для сравнительного анализа Рош при различных видах модуляции вводят величину ho2=E1/No
Следовательно, в приемнике Котельникова зависит вероятность ошибки не от отношения мощности сигнала к мощности помехи, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи.
Рассмотрим различные виды модуляции:
АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ.
S1(t)=Acoswot; S2(t)=0; 0 < t < Т
Значит 
(4.2)
окончательная формула
(4.3)ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Сигналы «0» и «1» равны по амплитуде, но отличаются по частоте, при этом спектральные линии полезной информации различаются на p/2 (выполняется условие ортогональности) - S1 и SO комплексно сопряжены.
S1(t)=Acosw1t; S2(t)= Acosw2t; 0 < t < Т
Так как сигналы S1 и S2 взаимоортогональны, то их функция взаимокореляции BS1S2(0) = 0 E1=Е2 EЭ=2Е1
Значит:
(4.4)Окончательная формула :
(4.5)ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
S1(t)=Acosw1t; S2(t)= - Acosw1t; 0 < t < Т
Сигналы S1 и S2 равны по амплитуде и противофазны, т.е.
Значит 
(4.6)
(4.7)Из сравнения (4.2, 4.4, 4.6) можно сделать вывод переход от амплитудной (пассивная пауза) к активным методам передачи «0» и «1» (ЧМ и ФМ) в энергетическом отношении приводит к выигрышу в соотношении сигнал/шум. Этот выигрыш равен 2 при ЧМ сигнала и 4 при ФМ по сравнению с АМ, и сложность состоит в том, удается ли полностью реализовать это преимущество на практике.
Например, "чистую" фазовую модуляцию организовать на практике невозможно из-за ухода частоты передатчика (наличия изменения фазы в/ч колебаний по времени), т.е. посылка S0 c j0=0o в течении длительного времени невозможна. Поэтому фазовая манипуляция на практике трансформировалась в относительную фазовую манипуляцию (ОФМ), при которой сравниваются две соседних посылки на наличие фазового сдвига: если он есть значит вслед за первой посылкой идет сигнал другого рода («1» вслед за «0»). Таким образом требование долговременной стабильности частоты (фазы) замещается стабильностью частоты (фазы) за время посылки одного символа. Появляется возможность организации системы связи с активной паузой при наличии медленных флюктуаций частоты (фазы) передаваемого сигнала.
Для определения отношения энергии сигнала к спектральной плотности и мощности помехи воспользуемся формулой:
для заданного варианта (ДФМ) Е=4*Е1 Е1=Е/4,где Е -энергия сигнала Е= Рс * Т. Отсюда получаем:
Для определения вероятности ошибки при использовании оптимального приемника Котельникова воспользуемся формулой:
Оптимальный приемник, не является корреляционным, сигнал на его выходе представляет
собой функции корреляции принимаемого сигнала и ожидаемого, благодаря чему
обеспечивается максимально возможное отношение сигнал шум.
Поскольку операция определения функции корреляции является линейной ее можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого (комплексная передаточная характеристика К(jw) и импульсная характеристика g(t) являются такими, что отношение сигнал/ шум на его выходе получается максимальным.
Пусть сигнал на входе фильтра имеет комплексный спектр S(jw). Тогда сигнал на выходе
фильтра у(t) можно определить с помощью преобразования Фурье:
Чтобы получить максимальную величину у(t), нужно найти оптимальную характеристику
фильтра k(jw). Для этой цели воспользуемся неравенством Шварца- Буняковского:
(3.6.)данное неравенство превращается в равенство только при условии:
, где а – некоторая постоянная. (3.7.)Подставляя неравенство (3.6.) в (3.7.), замечаем, что максимум величины h2 обеспечивается при выполнении условия:
(3.8.)из последнего выражения получим:
K(w)=aS(w), jK(w)+jS(w)+wt0=0
Откуда находим:
jK(w)+jS(w)+wt0=0
jK(w)=-jS(w)-wt0.
Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением:
(3.9.), где * обозначает комплексно-сопряженную величину. Тогда отношение сигнал/шум в момент времени t0 будет равно:
, где E – энергия сигнала на входе фильтра. Величина hm2 определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.Пояснения к полученным результатам.
АЧХ оптимального фильтра отличается постоянным множителем от амплитудного спектра сигнала, поэтому оптимальный фильтр пропускает различные частотные составляющие сигнала неравномерно с тем большим ослаблением, чем меньше интенсивность этих составляющих, в результате полная мощность шума на выходе фильтра получается меньшей, чем при равномерной АЧХ.
Заметим, что член выражения wt0для фазовой характеристики означает сдвиг во времени на величину t0 всех частотных составляющих сигнала. Приведенные равенства означают, что в момент времени t0 все спектральные составляющие сигнала фильтра имеют одну и ту же начальную фазу. Оптимальный фильтр обеспечивает компенсацию начальных фаз составляющих сигнала. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t0 пиковый выброс выходного сигнала. На составляющие шума, имеющие случайные начальные фазы, оптимальный фильтр таково влияния не оказывает.
Вследствие этих двух причин оптимальный фильтр обеспечивает максимум пикового напряжения сигнала к среднеквадратичному значению шума.
Так как частотные характеристики оптимального фильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, полностью определяются спектром (т.е. формой) сигнала, то говорят, что они согласованы с сигналом, а такой фильтр называют согласованным для данного сигнала. Следует отметить, что оптимальный фильтр для сигнала S(t) будет являться оптимальным и для всех сигналов той же формы, но отличающихся от него амплитудой, временным положением и начальной фазой заполнения (для радиоимпульсов).
Полученные выше результаты относятся к случаю приема сигналов с белым шумом. Рассматривая более общий случай, когда шум имеет неравномерную спектральную плотность Gn(w), можно показать, что передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением
(3.10.)Оптимальный фильтр в этом случае можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров. Первый из них имеет амплитудно-частотную характеристику
, его назначение – “обелить” шум, который поступает на вход фильтра. Второй фильтр с передаточной характеристикой K2(jw) является оптимальным для искаженного сигнала (после первого фильтра), но уже при белом шуме.Здесь интересно отметить следующее обстоятельство.Если квадрат амплитудно-частотного спектра сигнала совпадает по форме со спектральной плотностью шума, т.е.
, то АЧХ оптимального фильтра должна быть равномерной (K(w)=K=const).Определим импульсную переходную функцию согласованного фильтра. Импульсной переходной функцией называется отклик цепи на короткий импульс (дельта-функция). Она связана с передаточной характеристикой преобразование Фурье:
(3.11.)Так как для согласованного фильтра
, то для g(t) получим
(3.12)