Реверсная магнитная фокусирующая система мощного многолучевого клистрона (стр. 6 из 16)

ì ½ í ½ î	r	= m q2* j(x)* ;	(2.8)
	l
	Z	= x* .
	l

В большинстве практических случаев уравнения (2.5) и (2.6), определяющие внешнюю задачу, могут быть решены лишь численно с помощью электронных вычислительных машин.

Распределение потенциала внутри пучка в первом приближении параксиальной теории формировании в криволинейной системе координат определяется уравнением

V1 = u + m2q22 (u j j² +	2		j4 h2 - jk4 hk2	),	(2.9)
	4		j2

где V₁ - потенциал искомой эквипотенциали. Распределение плотности тока внутри пучка в криволинейной системе координат является однородным.

Расчет электростатических электронных пушек.

Выберем за единицу измерения радиальных размеров системы формирования Ф₀начальный радиус пучка, а за единицу продольных размеров пушки l - расстояние от катода до точки пролетного канала, в которой потенциал на оси пучка достигает своего постоянного значения U₀ (рис. 2.1). Величину U₀ примем за единицу измерения потенциала.

При решении внутренней задачи для электростатической ЭОС имеются лишь две возможности: либо задаются траектории электронов в системе, а осевое распределение потенциала вычисляется из уравнения (2.2), либо, наоборот, задается распределение потенциала на оси системы, а из уравнения (2.2) вычисляются траектории электронов.

Как распределение потенциала [Функция и(х)], так и траектория электронов [функция f(x)] в электронной пушке должны подчинятьcя определенным условиям. Условия для функции и(х):

х = 0, и(х) = 0, и’(х) = 0;	(2.10)
x ³ 1, u = 1, u’ = u” = 0.	(2.11)

Условия (2.10) обеспечивают работу катода в режиме пространственного заряда, а условия (2.11) - отсутствие электрического поля на оси в заданном пространстве пушки.

Условие для функции j(x) при х=0:

j”(х) = 0.

(2.12)

Условие (2.12), как показано в теории формирования, обеспечивает сферичность эмитирующей поверхности катода.

Рассмотрим расчет пушки по принципу, когда задается функция и(х), а вычисляется функция j(x). В этом случае функцию и(х) можно задать так, чтобы условия (2.10), (2.11) выполнялись, но дополнительно нужно еще отыскать такой способ задания функции и(х) в области малых значений х, при котором функция j(x), вычисленная из уравнения (2.2), отвечала бы условию (2.12).

Если такой способ задания функции и(х) найден, то, проведя расчет нескольких вариантов решения внутренней задачи, можно выработать рекомендации по расчету электронных пушек, формирующих пучки с заданными параметрами.

Для решения уравнения (2.2) необходимо задать начальные условия. Решение внутренней задачи для электронной пушки удобнее проводить от катода, задавая значение функций и(х) и и'(х) при х = 0. Однако в этом случае на катоде и(х) = 0 и правая часть уравнения (2.2) обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти следующим образом. При заданной функции и(х) найдем приближенное аналитическое решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х. При решении уравнения (2.2) с помощью полученного таким образом аналитического выражения сделаем первый шаг с катода в точку, в которой функция и(х) уже не равна нулю. Далее можно проводить решение уравнения (2.2) с помощью ЭВМ. Будем при расчете электростатической электронной пушки задавать функцию и(х) следующим выражением:

u = kx4/3¦2,			(2.13)
5
где	¦ = 1 + S an xn ,	(2.14)
n = 1

k, a_n (n = 1,2,…..5) – некоторые постоянные коэффициенты.

К расчету электронной пушки.

Риc. 2.1.

Очевидно, что функция и(х), заданная выражением (2.13), всегда положительна (при положительных х) и удовлетворяет условию (2.10). В области малых х функция и(х) совпадает о функцией kx^4/3, описывающей распределение потенциала в плоском диоде.

Коэффициенты а₁, а₂, полинома (2.13) выберем таким образом, чтобы удовлетворялось условие (2.12), а с помощью коэффициентов а₃, а₄, a₅ удовлетворим условию (2.11).

С целью отыскания соответствующих коэффициентов а₁, а₂, найдем для функции и(х), заданной выражением (2.13), приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х.

При этом решение для функции j(х) будем искать в виде

5
j(х) = 1 + S вn xn ,	(2.15)
n = 1

Из этого выражения следует, что значение j"(x) при х = 0 определяется значением в₂. Поэтому для выполнения условия (2.12) необходимо найти такие значения коэффициентов a_n, при которых в₂обращается в нуль. С этой целью подставим выражения (2.13), (2.15) в уравнение (2.2) и, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, выразим в_n через a_n. Расчет показывает, что в_n выражается через коэффициенты а₁, а₂ и для выполнения условия в₂= 0 эти коэффициенты должны вычисляться по следующим формулам:

а1 = -	8	в1 ;	(2.16)
	15

а2 =	361	в12.	(2.17)
	900

Как следует и (2.15), коэффициент в₁ определяет значение первой производной от функции j(x) в точке x = 0, т.е. на катоде. Поэтому введем обозначение в₁ = j¢_k, с учетом которого формулы (2.16) и (2.17) запишутся:

а1 = -	8	j¢k ;	(2.18)
	15

а2 =	361	(j¢k)2.	(2.19)
	900

Этот расчет также показывает, что в области малых х коэффициенты к, в₃, в₄ связаны с постоянными коэффициентами i, а₃, а₄ следующими соотношениями:

k = (	9	i)2/3 ;	(2.20)
	4

в3= -	33	(	74377	(j¢k)3 + а3) ;	(2.21)
	37		222750

в4 = 0,228771 (j¢k)4 + 1,154518 j¢kв3 – 0,783582 а4

(2.22)

С помощью этих соотношений можно вычислить приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х, если значения коэффициентов а₃, а₄ известны.

Теперь вычислим такие значения коэффициентов а₃, а₄, а₅, при которых удовлетворяются условия (2.11). Для этого возьмем первую и вторую производные от функции и(х) и в точке х = 1 положим u(1) = 1, u'(1) = 0, u"(1) = 0. Подучим систему трех уравнений, решая которую относительно а₃, а₄, а₅, найдем:

а3=	119	(	9	i)-1/3 – 10 +	48	j¢k –	361	(j¢k)2 ;	(2.23)
	9		4		15		300

а4= –	187	(	9	i)-1/3 – 10 +	64	j¢k +	361	(j¢k)2 ;	(2.24)
	9		4		15		900

а5 =	77	(	9	i)-1/3 +	24	j¢k –	361	(j¢k)2 – 6 .	(2.25)
	9		4		15		900

Уравнения (2.13), (2.18), (2.19), (2.23) – (2.25) определяют способ задания функции и(х), при котором выполняются как условия (2.10), (2.11), налагаемые на функцию и(х), так и условие (2.12), налагаемое на функцию j (х).