| ¶2U | » | 1 | [( | ¶U | )a - ( | ¶U | )c], | ü ý þ | (2.3) |
| ¶z2 | h | ¶z | ¶z | ||||||
| ¶2U | » | 1 | [( | ¶U | )b - ( | ¶U | )d]. | ||
| ¶y2 | h | ¶y | ¶y |
Входящие сюда первые производные могут быть также выражены через конечные разности:
| ( | ¶U | )a » | 1 | (U1 – U0), | ( | ¶U | )c » | 1 | (U0 – U3), | ü ý (2.4) þ |
| ¶z | h | ¶z | h | |||||||
| ( | ¶U | )b » | 1 | (U2 – U0), | ( | ¶U | )d » | 1 | (U0 – U4). | |
| ¶y | h | ¶y | h |
Здесь U1, U2, U3, U4 – значения потенциалов в точках 1, 2, 3, 4, окружающих точку О.
Подставляя (2.4) в (2.3), находим:
| ¶2U | » | 1 | [(U1–U0) - (U0–U3)], | ¶2U | » | 1 | [(U2 – U0) - (U0 – U4)], |
| ¶z2 | h2 | ¶y2 | h2 |
и
| ¶2U | + | ¶2U | » | 1 | (U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0). |
| ¶y2 | ¶z2 | h2 |
Отсюда получаем следующий конечно-разностный аналог уравнения Пуассона:
U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0 = - h2r / e0 .
U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0 = 0
Аналогично может быть получен конечно-разностный аналог уравнения Пуассона в цилиндрических координатах:
| ¶2U | + | 1 | ´ | ¶U | + | ¶2U | = - | r | ; |
| ¶r2 | r | ¶r | ¶z2 | e0 |
| U1 + U2 + U3 + U4 – 4U0 + | h | (U2 – U4) = - | h2r | , | (2.5) |
| 2r0 | e0 |
где r0 – расстояние от оси симметрии до рассматриваемой точки.
Для точек, лежащих на оси симметрии, вместо (2.5) будем иметь:
U1 + U3 + 4U2 – 6U0 = - h2r / e0 .
Записанные выше разностные уравнения связывают значения потенциала в отдельных дискретных точках, поэтому для расчета поля область, в которой ищется решение, покрывается квадратной сеткой с шагом h. Для каждого узла, лежащего внутри рассматриваемой области, составляется разностное уравнение, связывающее потенциал данного узла и четырех прилежащих к нему других узлов сетки. При этом узлам, совпадающим с границей области, приписываются фиксированные значения потенциала, равные потенциалам соответствующих точек границы.
Конечно - разностные уравнения, написанные для узловых точек сетки, образуют систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных. Таким образом, решение краевой задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений. При этом граничные условия участвуют в решении через значения потенциалов граничных узлов и опорных точек.
Для уменьшения погрешности, связанной с заменой дифференциального уравнения разностным, необходимо уменьшать шаг сетки, что означает увеличение числа узлов и, соответственно, увеличение порядка системы уравнений. В расчетах количество узлов может достигать нескольких тысяч, вследствие чего непосредственное решение системы уравнений методом исключения оказывается невозможным и для решения используется метод последовательных приближений, иначе называемый методом итерации. В настоящее время этот метод, имеющий ряд разновидностей, получил широкое применение при расчетах полей на ЭВМ.
При расчете траектории электронов в ЭОС, широкое применение получил метод последовательных приближений, заключающийся в следующем. В качестве полей первого приближения берутся поля без учета собственных полей потока частиц. Эти поля используются для расчета траекторий первого приближения. Поля и траектории второго приближения рассчитываются с учетом (приближенным) собственных полей пучка. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока результаты последующего п – го приближения не будут достаточно близки к результатам предыдущего (n – l) – гo приближения. В качестве критерия сходимости процесса могут, например, служить координаты и углы наклона траекторий частиц в некоторой выбранной плоскости анализируемой системы. В тех случаях, когда процесс последовательных приближений сходится, для получения конечного результата с необходимой для практики точностью обычно требуется 5 – 10 приближений.
При решении самосогласованных задач методом последовательных приближений используется дискретная модель потока частиц в виде траекторий – трубок тока. Для этого на входе в анализируемую систему поток частиц разбивается в поперечном направлении на N элементарных слоев – трубок тока. Парциальный ток каждой трубки DIk рассчитывается исходя из площади поперечного сечения трубки и распределения плотности тока по сечению пучка (последнее предполагается известным). Этот ток приписывается одной «центральной» траектории трубки, ход которой и рассчитывается в дальнейшем. В таком случае решение самосогласованной задачи сводится к совместному решению уравнений поля, движения и непрерывности тока. Последнее применительно к данной модели пучка имеет вид DIk = const. По известному распределению заряда производится расчет поля следующего приближения и т. д.
1.4. Способы измерения реальных магнитных полей в мощных клистронах [3].
В последнее время стали применяться полупроводниковые измерители магнитных полей, так называемые датчики э.д.с. Холла. Датчиками э.д.с. Холла можно измерять как постоянные, так и переменные магнитные поля.
Эффект Холла состоит в том, что на боковых гранях образца. Через который пропускается постоянный ток, при наличии внешнего магнитного поля возникает поперечная разность потенциалов. Для образца, сделанного из полупроводника в форме параллелепипеда, это разность потенциалов определяется уравнением
| Uy = R | ixНz | 10 – 8 в, | (2.6) |
| d |
Где ix – сила тока в образце, Нz – напряженность магнитного поля, d – толщина образца, R – константа Холла.
Таким образом, согласно формуле (2.6) при пропускании постоянного тока через образец в нем возникает разность потенциалов, которая будет пропорциональна напряженности магнитного поля. У датчиков э.д.с. Холла пропорциональность между U и Н соблюдается с точностью до нескольких процентов для полей порядка 2 ´ 104э.