Следовательно, требуемая схемная функция будет иметь в числителе полином четвёртого порядка, а в знаменателе полином третьего порядка, у которого будет отсутствовать свободный член.

3.1.2. Построение схемной функции

В предыдущем подразделе мы выяснили, какой вид должна иметь схемная функция RLC – двухполюсника, имеющей два последовательных резонанса, один параллельный, и в нуле эквивалентна ёмкости:

, (3.1)

Получили восемь неизвестных коэффициентов, которые необходимо найти. Кроме того, можно показать, что любой RLC – двухполюсник, не имеющий перекрёстных связей, имеет функцию сопротивления или проводимости вида (3.1), у которой коэффициенты a₀=b₀=1. Отсюда, имеем шесть неизвестных коэффициентов, для нахождения которых нам потребуется шесть уравнений. Предложим следующий вариант системы уравнений, из которой можно найти коэффициенты (3.1).

Найдём активные и реактивные составляющие сопротивления (3.1) на трёх гармониках и при равняем их составляющим сопротивления вибратора на этих же гармониках. Получается, что мы провели кривую, заданную выражением (3.1), через три точки полного сопротивления вибратора. Эти точки возьмём на частотах кратных частоте облучающего сигнала. Таким образом, мы гарантировано имеем те же значения сопротивления (3.1) на требуемых частотах.

3.1.3. Нахождение коэффициентов схемной функции

Нахождение коэффициентов схемной функции проводилось с использованием математического пакета MathCAD 7.0 Profeessional. Этот программный продукт имеет широкие возможности аналитической математики (в MathCAD она называется символьной), которая позволяет решать системы уравнений аналитическим путём, т.е. выдаёт конкретную формулу для нахождения переменной.

В ПРИЛОЖЕНИИ 1 приводятся формулы, которые были получены при помощи MathCAD, конечно же, они на первый взгляд выглядят громоздкими, но зато позволяют нам найти коэффициенты для любой совокупности реактивных и активных составляющих, не прибегая к численным методам.

Более того, эти формулы можно использовать для моделирования вибратора при помощи пользовательских программ, что является огромным «плюсом» в области исследований.

Ниже будет рассказано о том, как формулы для нахождения коэффициентов полинома использовались для моделирования всего отражателя – модулятора.

3.1.4. Синтез электрической цепи

Пока не существует канонического метода для синтеза эквивалентной электрической RLC-цепи по заданной схемной функции (полного входного сопротивления в нашем случае) без использования «идеального» трансформатора, поэтому мною предложен следующий «эвристический» метод синтеза схемного эквивалента вибратора. Идея метода заключена в том, чтобы последовательно в «бесконечности» выделять эквивалентное RL-сопротивление или RC-проводимость, при проведении этой процедуры получается разложение схемной функции цепи в цепную дробь. Таким образом, получаем лестничную цепь, у которой в продольных «ветвях» находятся индуктивность и сопротивление, в поперечных – ёмкость и проводимость. Ещё раз хочу отметить, что подобный подход строго не обоснован с точки зрения математики, а является эвристическим. Автору пришлось просидеть не мало часов за листами бумаги, рисуя различные схемы, выводя их схемные функции, синтезируя их этим методом, и, потом, у полученных схем снова выводить выражение для полного сопротивления. И ни разу этот метод не подвёл, т.е. всегда синтезированные схемы имели положительные номиналы элементов. Впрочем, для моделирования при помощи ЭВМ не требуется положительность этих номиналов, это требуется только при натурном моделировании, и то, в некоторых случаях, отрицательные параметры элементов удаётся реализовать при помощи специальных устройств. Для доказательства справедливости этого метода, необходимо показать, что при условии положительности и вещественности исходной схемной функции, она раскладывается в цепную дробь, причём на каждом шаге мы получаем полином первой степени с положительными коэффициентами и рациональную дробь, обладающую свойством положительности вещественности. При моделировании на компьютере, если графики активного и реактивного сопротивления модели вибратора качественно были такими же, что и экспериментальные, то синтезированная цепь имела положительные номиналы своих элементов.

3.2.Составление математической модели модулирующей части

Из рис. 3.1 – 3.3 видно, что модулирующая часть состоит в общем случае из R_СОГЛ, L_СОГЛ, C_СОГЛ, источников смещения и модулирующего напряжения и нелинейного элемента.

Все эти элементы легко реализуются при помощи ЭВМ, и не представляется особой сложности для составления их дискретной модели. Параметры же нелинейных элементов вычисляются в конце шага, в соответствии с выражениями, приведёнными в главе 2.4 и 2.5, и на протяжении всего следующего шага считаются постоянными.

3.3.Построение общей математической модели отражателя – модулятора

При переходе от непрерывной модели элементов к дискретной использовался метод Тастина, с которым можно познакомиться в [2], [6] и [9], причём согласующая ёмкость была введена в модель вибратора. Коэффициенты схемной дискретной функции для реализации этого метода были получены при помощи математического пакета MathCAD 7.0 Professional.

Для нахождения параметров модуляции нам необходимо знать ток в эквиваленте симметричного вибратора. Для этого мы должны определить напряжение на нелинейном элементе, затем, зная разность потенциалов, приложенную к зажимам модели вибратора, мы можем определить ток в ней. Для этого реализуем следующую схему работы алгоритма моделирования:

- на первом шаге напряжение на нелинейном элементе приравниваем напряжению смещения;

- определяем ток в модели вибратора (согласующей ёмкости) и ток в согласующей катушке индуктивности;

- находим ток в нелинейном элементе;

- определяем напряжение на нелинейном элементе;

- вычисляем параметр нелинейного элемента (напряжение - для диода, ёмкость – для варикапа);

- переходим на новый шаг;

Именно эта схема работы заложена в моделирующую программу. Как будет показано ниже, она приведёт нас к хорошим результатам.

4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДУЛЯТОРА НА ДИОДЕ

Поставленная задача анализа относится к классу нелинейных задач электродинамики, и её решение требует наличие достаточно мощных вычислительных средств. В то же время существует ряд приближённых методов анализа, позволяющих найти приемлемое решение, не прибегая к значительным затратам физического и машинного времени. Одним из них является квазилинейный метод, обычно применяемый для анализа нелинейных цепей при квазигармоническом характере протекающих в них токах и напряжениях [5], [7].

Суть метода заключается в том, что при определённых условиях ток или напряжение в нелинейной цепи может считаться периодическим процессом. В радиотехнических цепях основанием для такого допущения является наличие колебательных цепей в составе анализируемой цепи или системы. Периодический характер процесса, например тока в нелинейной цепи, позволяет представить его разложением в ряд Фурье:

i(t)=I₀+I₁cos(w₀t+j₀)+I₂cos(2w₀t+2j₀)+…, (4.1)

где I_k – амплитуда k- ой гармоники тока;

I₀ – постоянная составляющая;

w₀ – частота первой гармоники;

j₀ – её начальная фаза.

Полагая, что ток вызывается некоторым воздействием, например, напряжением

U(t)=U₀cos(w₀t+j₀), (4.2)

можно записать между амплитудами воздействия и отклика в виде:

I_k(U₀)=Y_k(U₀)U₀, (4.3)

где Y_k(U₀) – проводимость нелинейной цепи по k – ой гармонике, зависящая от амплитуды воздействия.

Подобная зависимость может быть записаны и для постоянной составляющей, и для амплитуды какой-либо высшей гармоники. При этом зависимость проводимости от амплитуды воздействия, естественно, выражается другой функцией. Если фазовый сдвиг тока не совпадает с фазовым сдвигом входного напряжения (цепь является инерционной), то проводимость, связывающая комплексные амплитуды тока и напряжения, также является комплексной.