Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем (стр. 1 из 4)

Курсовая работа:

«Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем»

Постановка задачи:

1. Для объекта управления с математическим описанием

, (1) - задано,

где

- n-мерный вектор состояния, ,

- начальный вектор состояния,

- скалярное управление,

- матрица действительных коэффициентов,

- матрица действительных коэффициентов,

найти управление в функции переменных состояния объекта, т.е.

, (2)

где

- матрица обратной связи, такое, чтобы замкнутая система была устойчивой.

2. Корни характеристического уравнения замкнутой системы

(3)

должны выбираться по усмотрению (произвольно) с условием устойчивости системы (3).

Задание:

1. Разработать алгоритм решения поставленной задачи.

2. Разработать программу решения поставленной задачи с интерактивным экранным интерфейсом в системах BorlandPascal, TurboVision, Delphi - по выбору.

3. Разработать программу решения систем дифференциальных уравнений (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.

4. Разработать программу графического построения решений систем (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.

Введение

Наряду с общими методами синтеза оптимальных законов управления для стационарных объектов всё большее применение находят методы, основанные на решении задачи о размещении корней характеристического уравнения замкнутой системы в желаемое положение. Этого можно добиться надлежащим выбором матрицы обратной связи по состоянию. Решение указанной задачи является предметом теории модального управления (термин связан с тем, что корням характеристического уравнения соответствуют составляющие свободного движения, называемые модами).

Алгоритм модального управления.

Соглашения:

· Задаваемый объект управления математически описывается уравнением

, (1)

где

и - матрицы действительных коэффициентов,

- n-мерный вектор состояния

- скалярное управление,

- порядок системы (1).

· Обратная связь по состоянию имеет вид

, (2)

где

- матрица обратной связи.

· Система с введенной обратной связью описывается уравнением

(3)

· Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид

(4)

· Характеристическое уравнение системы (3) с задаваемыми (желаемыми) корнями

имеет вид

(5)

Алгоритм:

1. Для исходной системы (1) составляем матрицу управляемости

2. Обращаем матрицу

, т.е. вычисляем .

Если

не существует (т.е. матрица - вырожденная), то прекращаем вычисления: полное управление корнями характеристического уравнения (5) не возможно.

3. Вычисляем матрицу

4. Составляем матрицу

5. Вычисляем матрицу, обратную матрице

, т.е.

6. Вычисляем матрицу

- матрицу в канонической форме фазовой переменной:

где

- коэффициенты характеристического уравнения (4).

Матрица

в канонической форме имеет вид

7. Составляем вектор

, элементам которого являются коэффициенты характеристического уравнения (4), т.е. , ,

где

- элементы матрицы .

8. Находим коэффициенты характеристического уравнения (5) (см. пояснения) и составляем из них вектор

.

9. Вычисляем вектор

.

- искомая матрица обратной связи системы (3), но она вычислена для системы, матрицы которой заданы в канонической форме фазовой переменной ( и ).

10. Для исходной системы (3) матрица обратной связи получается по формуле

Матрица

- искомая матрица обратной связи.

Пояснения к алгоритму:

В данной работе рассматривается случай, когда управление единственно и информация о переменных состояния полная. Задача модального управления тогда наиболее просто решается, если уравнения объекта заданы в канонической форме фазовой переменной.

Так как управление выбрано в виде линейной функции переменных состояния

, где является матрицей строкой . В таком случае уравнение замкнутой системы приобретает вид . Здесь

Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет следующим

Поскольку каждый коэффициент матрицы обратной связи

входит только в один коэффициент характеристического уравнения, то очевидно, что выбором коэффициентов можно получить любые коэффициенты характеристического уравнения, а значит и любое расположение корней.

Если же желаемое характеристическое уравнение имеет вид

,

то коэффициенты матрицы обратной связи вычисляются с помощью соотношений:

Если при наличии одного управления нормальные уравнения объекта заданы не в канонической форме (что наиболее вероятно), то, в соответствии с пунктами №1-6 алгоритма, от исходной формы с помощью преобразования

или нужно перейти к уравнению в указанной канонической форме.