Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества
(3.7)
Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е, достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда для каждого и каждого . Поскольку можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что , т.е. q - член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,
(3.8)
или, словами, следующее.
Теорема о продолжимости : .вектор является продолжимым тогда и только тогда, когда для всех положительных p.
Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р - положительные сопряженные конусы.[10]. Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой характеристики Р, в терминах положительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристика продолжимости была первоначально использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].
Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы. Существуют две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А; поскольку К уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3. Косвенная точка зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает множество P посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается.
Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности.
Пример 3.1 : Случай временной последовательности; D=1, .B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для случая временной последовательности, как следует из фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома
.
Внутреннее произведение становится теплицевой формой в коэффициентах
Таким образом, требование того, чтобы внутреннее произведение было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям.
1.3 Граница и внутренняя часть
Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е и P являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу максимальной энтропии [l4].
Граница замкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся на границе. .
Граница и внутренняя часть конечного измеримого множества не зависит от частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р и Е являются выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать их внутренний части и границы.
Граница Р, обозначаемая , состоит из тех положительных полиномов, которые равны нулю для некоторых . Внутренняя часть Р, обозначаемая , состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К.
Положительные полиномы могут быть использованы для определения границы и внутренней части Е. Граница Е, обозначаемая , состоит из тех продолжимых корреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е, обозначаемая , состоит из тех корреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным полиномом.
1.3.1 Функции спектральной плотности мощности
Многие методы спектральной оценки представляют спектр мощности не как меру, а в виде функции спектральной плотности. Это ведет к модификации задачи продолжимости: если задана фиксированная положительная конечная мера , которая определяет интеграл
(3.9)
то какие корреляционные векторы могут быть произведены от некоторой строго положительной функции ? При одном дополнительном ограничении на , которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что векторы, которые могут быть представлены таким образом, являются векторами, находящимися во внутренней части Е. Кроме того, можно показать, что любой век
тор во внутренней части Е может быть представлен в форме /3.9/ для некоторой непрерывной, строго положительной .
Теорема продолжимости для функций спектральной плотности:
Если каждое соседство каждой точки в К имеет строго положительную -меру, то
1/если равномерно ограничена относительно нуля по К,
то
;
2/если , то
для некоторой непрерывной, строго положительной функции .
Доказательство этой теоремы содержится в Приложении А.
1.3.2 Дискретизация спектральной основы
Многие представляющие интерес спектральные основы содержат бесконечное число точек. Эти спектральные основы следует часто аппроксимировать в вычислительных алгоритмах посредством конечного числа точек. Поэтому важно понимать эффекты такой аппроксимации.
Рассмотрим дискретную спектральную основу
(3.10)
Мера на дискретной основе полностью характеризуется ее значением в каждой точке. Итак, обратный интеграл -Фурье сводится к конечной сумме
(3.11)
Аналогично, для санкций спектральной плотности
(3.12)
Мера может считаться определяющей квадратурное правило для интегралов по спектральной основе.
Из определений продолжимых векторов корреляции и положительных полиномов можно заметить, что, если спектральная основа образуется посредством выбора конечного числа- точек из некоторой исходной спектральной основы, то новое множество Е является выпуклым многогранником, вписанным внутрь исходного множества Е, а новое множество Р является выпуклым многогранником, описанный вокруг первоначального множества Р. Следовательно, новое Е меньше исходного Е, а новое Р больше исходного Р. Достаточно плотная выборка исходной спектральной основы приведет к многогранникам, которые аппроксимируют исходные множества с произвольной точностью. Например, на рис.5 показан эффект аппроксимации спектральной основы четырьмя выборками для . Исходные конусы Е и Р имеют круговое поперечное сечение при , как показано на рис.3. Конусы, соответствующие выборочной основе имеют /оба/ квадратное поперечное сечение. Границы новых и старых конусов пересекаются у векторов, соответствующих точкам выборки.
1.4 Метод Писаренко
Писаренко описал метод спектральной оценки временной последовательности, в котором спектр моделируется в виде суммы импульсов штос компонента белого шума [5]. Если компонента белого шума выбирается настолько большой, насколько это возможно, то, как он показал, положение и амплитуды импульсов, необходимые для согласования измеренных корреляций, определяются единственным образом. Метод Писаренко будет выведен для более обшей ориентации ИП и для более общей шумовой компоненты. Связь метода Писаренко с вопросом продолжимости будет продемонстрирована.
Продолженная оценка Писаренко будет получена как решение задачи оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.
Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но оно может быть не единственным. Получается задача двойственной' оптимизации, которая для случая временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов. И опять, решение этой двойственной задачи существует всегда, но может быть не единственным.
Рассматриваются алгоритмы для вычисления по методу Писаренко. Основная задача оптимизации записывается, для спектральной основы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейной программы стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода для решения этой основной линейной программы. Представлена двойственная линейная программа. Рассматриваются также возможность создания вычислительных алгоритмов, более быстрых, чем симплекс-метод.