2) решается стандартная задача, общий способ решения ученику неизвестен;
3) решается нестандартная задача [40].
Каждому типу соответствует своя стратегия поиска. Применительно к процессу поиска решения задач учебная ситуация представляет собой соответствующую стимульную ситуацию, которая в свою очередь становится поисковой ситуацией.
Поисковые ситуации, соответствующие различным системам обучения, характеризуются определенными особенностями.
Поисковая ситуация
1) Решение по образцу, разучивание схемы последовательности решения: осознание задачи как проблемы, усвоение содержания, расчленение на искомое и данные, уяснение зависимостей между ними, сопровождаемое выдвижением гипотез, осуществление решения, работа после решении. Особенности решения арифметических, алгебраических, геометрических задач.
2) Обучение мыслительным операциям, необходимым для решения задач. Особое внимание уделяется развитию соответствующих мыслительных умений, качеств мышления, усвоению общих приемов решения, формированию системы эвристик, использование которых формирует умение решать задачи вообще. Например, умение анализировать данную ситуацию, обнаруживать структуру задачи и т. п.
3) Обучение поиску решения задач как начальной стадии математического открытия.
Основное внимание уделяется процессу поиска и его моделированию.
Среди схем поиска видное место занимают графовые иллюстрации
Таким образом, поисковая ситуация I вида - ПС I - не требует поиска решения как такового. Надо распознать принадлежность к классу задач и вспомнить соответствующее решение. В ПС II учитель наводит учащихся на решение как выше указанным способом, так и обучением специальным мыслительным приемам (по Ю. М. Колягину). В ПС III главное внимание уделяется обучению специальным приемам поиска решения.
Школьники должны понимать функции задач, содержащихся в каждом пункте учебника, представлять задачу как цель или как средство обучения. Они должны быть поставлены правильно подобранной последовательностью задач в ситуацию поиска решения.
В методике применения стимулов важны и некоторые другие особенности. В зависимости от тех функций задач, которые проявляются на уроке, одни стимулы могут применяться в меньшей, другие в большей степени. Например, стимул раскрытия жизненно-практического значения задачи более эффективно проявляет прикладные функции задач, а стимул создания проблемных ситуаций - познавательные, дидактические функции.
Неправильный выбор стимула снижает эффективность обучения. Например, широко распространен недостаток: учитель пытается стимулировать самостоятельность решения задач, но в то же время вызывает ученика к доске. Другой пример: учитель хочет возбудить внутреннюю активность мыслительной деятельности, но при этом объявляет: «Эта задача совсем легкая!».
Стимул вступает в действие в обстановке максимально возможного сближения позиций учителя и учащихся в стимульной ситуации при использовании учителем набора стимулирующих приемов. Можно было бы механизм стимулирования объяснить с позиции изоморфной ему в данной ситуации теории управления.
Инструментовка стимулов выражается воздействиями и обращениями, пожеланиями, просьбами, постановкой проблемных вопросов, показом образцов, введением новой информации и т.п.
В обучении поиску решения задач большую роль играют специфические стимулы, к которым в первую очередь относится подбор числовых данных, сюжет, содержание и форма вопроса (требования). Выбор сюжета нередко недооценивается как составителями задач, так и учителями. Считается, что математическая идея первична, а фабула, «сюжетная картинка» вторична. Этот взгляд оправдан лишь с позиции учителя, а с позиции ученика, особенно в системе исследовательского обучения, математическая идея не может быть первичной, так как она проявляется в ходе поиска решения и начинается с анализа описанной в задаче ситуации.
Лишь недооценкой первичности содержания задачи как стимулирующего средства поиска объясняется наличие в учебниках задач, далеких от интересов детей. Чем шире задача охватывает жизненную ситуацию, чем большее число отношений она в себя вбирает, тем большая вероятность того, что у ученика возникает внутренняя потребность ее решения. Однотипные по содержанию задачи решаются подневольно, «без настроения». В традициях пашей школы заложена связь текстовых задач с жизнью, с практикой. Можно лишь сожалеть, что круг этих связен в условиях НТР расширяется робко, незначительно. Проблема математизации трудовых процессов, проблема экономического воспитания требует перенесения типичных производственных задач из дополнительных пособий в учебники.
Стимулирующее воздействие оказывает облечение задачи в различную форму, разнообразные способы оформления решения. Нередко простая формальная схема поиска быстро приводит к результату, но необходимость записать все «как положено», боязнь пропустить какие-либо детали выступает антистимулом поиска решения.
Задачи редко заканчиваются проблемными вопросами «почему?», «где?», «когда?»; превалирует один вопрос «сколько?».
Таким образом, необходима целенаправленная гибкая система формирования приемов поиска активизирующих процесс решения задач, вырабатывающих творческий подход к содержащимся в задачах проблемам; необходимо систематическое формирование мотивов учения, стимулирование поиска решения задач. Также необходимо стараться отходить от применения стимулов решения задач, которые только носят общепедагогический характер, и нужно делать акцент на узкие, целенаправленные стимулы, специфические. Школьники должны не просто уметь решать задачу, но еще и понимать функции этой задачи. подводя итог выше сказанному, нужно отметить главное, что неправильный выбор стимула снижает эффективность обучения. Необходимо следить, чтобы выбранному стимулу соответствовала и форма работы с учеником, чтобы не возникало противоречий.
§3. Специфические приемы стимулирования поиска решения математических задач.
Специфические приемы стимулирования отличаются от общепедагогических более узкой направленностью именно на поиск решения, большей связью с математическим содержанием и методами исследования. Рассмотрим стимулирующие приемы, в наибольшей мере способствующие проявлению конкретных функций задач.
Познавательный процесс можно охарактеризовать такой последовательностью: заключенная в задаче информация должна быть а)получена, воспринята учеником, б)переработана в его сознании, в)закреплена в памяти. Стимулирующие приемы проявления познавательных функций задач сводятся к реализации элементов этой последовательности.
1) Словарная работа. Усвоение содержания и идеи задачи можно считать полным, если учащимся понятны все математические, политехнические и другие термины, встречающиеся и тексте.
Формы словарной работы различны. В одних случаях необходимо повторить соответствующие определения, в других - обратить внимание на грамматический состав, на происхождение слов, принести историческую справку. В познавательном отношении учащиеся всегда с интересом воспринимают происхождение терминов «центр», «хорда», «радиус», «иррациональное число» и др. Особенно важно сейчас разъяснение экономических терминов.
2) Сообщение дополнительного познавательного материала, связанного с содержанием и идеей задачи.
До учащихся не всегда, например, доводится даже идея теоремы Пифагора. Следовало бы сообщить о деятельности пифагорейской школы, об истории открытия замечательных числовых соотношений. Среди последних и равенство квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника сумме квадратов его катетов. Полезно заметить, что равенство справедливо именно для вторых степеней. Знаменитый математик и астроном И. Кеплер сказал, что геометрия владеет двумя сокровищами, и одно из них - теорема Пифагора. Это сокровище он сравнивал с мерой золота. В учебниках должно быть больше авторских задач.
3) Предпочтение более современным методам решения задач.
Арифметическому решению следует предпочитать составление уравнения; не забывать о приближенных вычислениях в необходимых случаях, шире использовать геометрические преобразования, в том числе векторы; применять тригонометрические сведения. Большое внимания заслуживает использование уравнений и неравенств в поиске решения геометрических задач.
4) Обязательное усвоение элементарных задач каждой темы, то есть усвоение азбуки каждой математической линии школьного курса.
Ученик должен на автоматизме решать выражения, содержащие основные правила. Например: решение необходимо сначала начинать со скобок или умножения и деления.
5) Варьирование содержания задачи в процессе решения позволяет извлечь, возможно, больше информации, увидеть в задаче серию сходных ситуаций, обобщенно воспринять математическую идею. Эффективен, например, прием, когда к серии задач уравнения лишь составляются, а их решение откладывается или вовсе не выполняется.
«Как нужно разрезать ромб на три части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, основание которого было бы равно одной из диагоналей ромба?». рис 1. (см. Приложение 2)
Однако «без больших дополнительных затрат» можно решить и другие вопросы, связанные с ее содержанием: «Какую формулу вычисления площади ромба подтверждает это решение?», «Можно ли получить такой же результат, разрезав параллелограмм, не являющийся ромбом? Разрезав квадрат?», «Можно ли было решить эту задачу, если треугольники нельзя переворачивать, а можно лишь передвигать по плоскости?»
Одним из видов варьирования содержания задачи является рассмотрение особых случаев, нахождение наибольших и наименьших значений. При решении комплексных задач находятся сразу все элементы данной фигуры.
6) Повторное решение задачи является хорошим приемом усвоения информации. К сожалению, этот прием редко применяется на практике. Считается, что обязательно надо решать новые задачи, «числом поболее». Между тем при первом решении иногда нет возможности или необходимости проявлять все функции задачи, это можно сделать при повторном решении. Обычно при этом не ставится цель заучить ход решения, но в отдельных случаях ставится и такая цель, особенно если ход решения типичен и на данную задачу можно будет ссылаться позднее. Ведь доказываем же мы по много раз одни и те же теоремы!