О некоторых российских педагогических концепциях в условиях американской системы образования (стр. 2 из 2)
Разумеется, трудно ожидать, что студенты самостоятельно сделают описанные выше наблюдения. Здесь должен вступить в дело преподаватель и дополнить произведенный ранее обмен гипотезами (или теоремами) (1)-(4) организацией обсуждения их как нового, впервые появившегося перед студентами явления.
Приведенные выше упражнения ориентированы не только на потребности математика-профессионала, как это может показаться на первый взгляд, но и на потребности будущего учителя. Рассмотрим, например, поле
, которое является расширением поля Q с помощью не принадлежащего ему числа 
и состоит из чисел вида 
c рациональными а и b. Числа такого вида постоянно встречаются в школе. Действительно, если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет целые коэффициенты и его дискриминант не является точным квадратом, то корни этого уравнения 
принадлежат расширению поля Q с помощью числa 
Аналогично, поле 
- это расширение поля с помощью числа 
. Не случайно все эти поля присутствуют в учебниках для педвузов, например, в классическом руководстве Л.Я.Окунева [5].Отступим на время от основной линии нашего изложения ради решения одного частного упражнения: какова размерность векторного пространства
над полем 
? Для ответа на этот вопрос нужно представить число 
и рассмотреть его как линейную комбинацию векторов 1 и c коэффициентами 
Т.о., с технической точки зрения требуется немного - всего лишь школьные правила действий с радикалами, однако применение их отнюдь не просто для студента, так как требует опыта переосмысления школьного материала в контексте линейной алгебры. Именно такие двусторонне ориентированные упражнения и коллекции упражнений особенно ценились американскими коллегами.Научная работа имеет одно свойство, отражение которого в процессе преподавания крайне желательно, - современность ведущихся исследований. Современность - вольный или невольный атрибут всякого научного исследования, наличие которого не зависит от воли и желания его автора. Причина такого неразрывного единства проста и прозаична: никто не будет печатать научных работ, если в них не изучаются находящиеся в центре внимания объекты исследования, или не вводятся новые, достойные изучения объекты, или не выявляются новые свойства классических объектов и т.д. Кратко говоря, несовременное, в широком смысле, исследование обречено на прекращение. Перед любой системой образования стоит проблема насыщения курсов материалом, который вводит студентов в круг изучаемых наукой проблем. Покажем, как приведенные выше простые примеры могут быть использованы для первоначального знакомства с супералгебрами, вошедшими в математику сравнительно недавно, порядка двадцати лет назад. Начнем с определения.
Пусть
- поле классов вычетов по модулю 2. Алгебра Ј называется Z2 - градуированной (или супералгеброй), если она разлагается в прямую сумму подпространств 
таких, что ЈiЈj Јi+j , где i, j Z2 .Cоотношения включения могут быть записаны более подробно:
Покажем, что
является супер-алгеброй над Q. Для этого рассмотрим подпространства 
Очевидно, что
Проверим соотношения включения.а) Если
следовательно, 
б) Если
cледовательно,
в) Если
следовательно
Таким образом,
действительно является супералгеброй.С педагогической точки зрения мы вновь имеем многосторонне ориентированное упражнение. Действительно, для его решения нам пришлось применить правила действий с радикалами, и в этом выражается его связь со школой. В то же время оно оперирует с понятием суммы подпространств, которое изучается в педагогических институтах. Наконец, оно несет пропедевтическую нагрузку по отношению к возможным спецкурсам, дипломным работам или обучению в аспирантуре.
Интересно, что алгебра
несет на себе по крайней мере две суперструктуры. Вторая из них задается парой подпространств 
Предлагаем читателю перечислить все суперструктуры на этой алгебре в качестве "упражнения".
Итак, мы проиллюстрировали возможность моделирования в процессе преподавания таких важных черт работы математика, как ее индуктивный характер, иерархическая структура обобщений, процессы информационного обмена, сопричастность к современным теориям. Весьма важно, что это было сделано с помощью предельно простых заданий. Автор надеется показать более детализированные и выразительные коллекции упражнений в специальной статье.
3. Точки соприкосновения
Американская и российская системы образования развиваются, к обоюдному сожалению, почти независимо друг от друга. Тем более удивительной оказалась хорошая согласованность и взаимная полезность авторской концепции и одной из американских традиций преподавания - большого внимания к вопросам математического моделирования. В Дейтонском университете регулярно ведется семинар по математическому моделированию, а работа над магистерскими диссертациями связана с применением дифференциальных уравнений к решению некоторых медицинских проблем. Кафедра математики гордится победой своих студентов в региональном конкурсе работ в этой области. В июле текущего года проводился общенациональный симпозиум под названием "Математическое моделирование в учебном процессе". В самом его названии отражается возможность согласования разных подходов.
По сути дела, речь идет о нескольких явлениях и двух последовательных ступенях моделирования. Во-первых, имеются природные процессы и математические объекты. Описание природных процессов в терминах математики составляет предмет науки и называется математическим моделированием. Во-вторых, сам процесс математического моделирования превращается, в свою очередь, в предмет моделирования особого типа, педагогического моделирования. Результатом педагогического моделирования становятся явления в сфере образования - новые курсы, планы, программы, методики. Относительная независимость двух этапов моделирования может быть проиллюстрирована простым примером: математическое моделирование колебательных движений было выполнено во времена Ньютона и Фурье, а педагогическое моделирование составляет предмет деятельности преподавателей в настоящее время и зависит от конкретных условий преподавания.
Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать два объекта, математику и образование, выделить в математическом творчестве его характеристические свойства, не зависящие от предметной области математики и уровня исследований, а затем моделировать эти свойства в процессе преподавания. Обобщенность такого подхода выражается в том, что значительная часть математики не имеет дела с математическим моделированием, однако становится, наряду с ним, объектом педагогического моделирования. В то же время мы имеем хорошее согласование с традиционным взглядом на математическое моделирование - достаточно объявить его одной из характерных черт математики и работать в обычном ключе.
Итак, нам есть что "продать" американской системе образования. В то же время необходимо многое перенять. Большой по объему и богатый по содержанию курс статистики, читаемый в университетах США, отражает ее место в современной науке. Применение компьютеров в преподавании классических дисциплин - другая область, в которой американцы имеют богатый опыт. Достаточно сказать, что в течение уже десяти лет существует движение университетских профессоров за реформу преподавания математического анализа, суть которого - создать условия для самостоятельного переоткрытия студентами многих теорем с помощью компьютеров. Американский прагматизм, помноженный на американский энтузиазм, придает классическим курсам очень мощную прикладную направленность. Было бы интересно посмотреть, что может дать соединение российского и американского энтузиазма.
Список литературы
[1] Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М.: Просвещение, 1967.
[2] Боголюбов А.Н. Математики и механики. Киев: Наукова думка, 1983.
[3] Кочина П.Я. Карл Вейрштрасс. М.: Наука, 1985.
[4] Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки студентов //Советская педагогика. 1985. №12. C.52-57.
[5] Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966.
[6] Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.