Введение в психологию Аткинсон Смит Бем (стр. 270 из 278)

Более подробный список площадей под частями кривой нормального распределения приведен в табл. П4.

Таблица П4. Площадь участков под кривой нормального распределения как часть общей площади под ней

Стандартное отклонение	(1) Площадь левого участка от данного значения	(2) Площадь правого участка от данного значения	(3) Площадь участка между данным значением и средней
-3,0 σ	0,001	0,999	0,499
-2,5 σ	0,006	0,994	0,497
-2,0 σ	0,023	0,977	0,477
-1,5 σ	0,067	0,933	0,433
-1,0 σ	0,159	0,841	0,341
-0,5 σ	0,309	0,691	0,191
0,0 σ	0,500	0,500	0,000
+0,5 σ	0,691	0,309	0,191
+1,0 σ	0,841	0,159	0,341
+1,5 σ	0,933	0,067	0,433
+2,0 σ	0,977	0,023	0,477
+2,5 σ	0,994	0,006	0,494
+3,0 σ	0,999	0,001	0,499

Давайте при помощи табл. П4 проследим, как получаются величины 68% и 95%, показанные на рис. П5. В табл. П4 в третьей колонке находим, что между -1σ и средним лежит 0,341 общей площади и между +1σ и средним тоже 0,341 общей площади. В сумме эти величины дают 0,682, что на рис. П5 показано как 68%. Сходным образом площадь от -2σ до +2σ составит 2 х 0,477 = 0,954, показанные как 95%.

Шкалирование данных

Чтобы интерпретировать показатель, часто нужно знать, высокий он или низкий по отношению к другим показателям. Если человеку, сдающему водительский экзамен, требуется 0,500 сек, чтобы нажать на тормоз после сигнала опасности, как определить, быстро это или медленно? Считать ли, что студент сдал курс по физике, если его показатель на экзамене равен 60? Для ответа на такие вопросы надо вывести шкалу, с которой эти показатели можно сравнивать.

Ранжирование данных. Располагая показатели по рангу от высокого к низкому, мы получаем одну из таких шкал. Отдельный показатель интерпретируется по тому, на каком месте он располагается среди группы показателей. Например, курсанты военной академии Вест Пойнт знают, где они находятся в своем классе — возможно, 35-ми или 125-ми в классе из 400.

Стандартный показатель. Стандартное отклонение — удобная единица шкалирования, поскольку мы можем оценить, насколько далеко от среднего располагаются 1σ или 2σ (табл. П4). Величину произведения, в котором один сомножитель — стандартное отклонение, называют стандартным показателем. Многие шкалы, применяемые в психологических измерениях, основаны на принципе стандартного показателя.

Пример вычисления стандартного показателя. В табл. П1 приведены показатели, полученные 15 студентами на вступительных экзаменах. Не имея дополнительной информации, мы не знаем, являются ли эти показатели репрезентативными для группы всех поступавших. Однако предположим, что средний показатель на этих экзаменах был 75, а стандартное отклонение 10.

Каким же будет стандартный показатель у студента, набравшего на экзаменах 90 баллов? Насколько выше среднего лежит этот показатель, надо выразить в количестве стандартных отклонений:

Стандартный показатель для студента, с оценкой 90 равен:

В качестве второго примера возьмем учащегося с оценкой 53.

Стандартный показатель для оценки 53 равен:

В этом случае показатель учащегося лежит ниже среднего на 2,2 стандартных отклонения. Таким образом, знак стандартного показателя (+ или -) говорит о том, выше или ниже среднего находится данный показатель, а его величина показывает, насколько далеко от среднего он расположен в единицах стандартных отклонений.

Насколько репрезентативно среднее?

Насколько хорошо среднее выборки отражает среднее всей группы? Если измерять рост у случайной выборки из 100 студентов колледжа, насколько хорошо среднее этой выборки предсказывает истинное среднее группы (то есть средний рост всех студентов колледжа)? Это все вопросы, связанные с выводом о группе на основе данных выборки.

Точность такого вывода зависит от ошибок выборки. Предположим, мы сделали две случайных выборки из одной и той же группы и для каждой из них подсчитали среднее. Какого различия между одним и другим средним можно ожидать в результате случая?

Последующие случайные выборки из той же группы будут давать разные средние, образуя распределение выборки средних вокруг истинного среднего данной группы. Эти выборки средних сами по себе являются величинами, для которых можно подсчитать стандартное отклонение. Это стандартное отклонение называется стандартной ошибкой среднего; оно обозначается sM и вычисляется по следующей формуле:

где σ — стандартное отклонение выборки, а N — количество случаев, по которым вычисляется каждое среднее.

Согласно этой формуле, величина стандартной ошибки среднего уменьшается с увеличением величины выборки; поэтому среднее, основанное на более крупной выборке, является более достоверным (оно скорее окажется ближе к истинному среднему всей группы). Этого можно было ожидать и на основе здравого смысла. Стандартная ошибка среднего ясно показывает, насколько неопределенно полученное среднее. Чем больше объем выборки, тем меньше неопределенность среднего.

Значимость различия

Во многих психологических экспериментах данные собираются по двум группам испытуемых; одна группа подвергается специфическим экспериментальным воздействиям, а другая служит контрольной. Вопрос в том, существует ли различие между средними показателями этих групп, и если есть, то выдерживается ли оно для всей группы, из которой были взяты эти две выборки. Проще говоря, отражает ли различие между двумя группами истинное различие или оно возникло вследствие ошибки выборки.

В качестве примера сравним показатели экзамена по чтению у выборки мальчиков-первоклассников с показателями у выборки девочек-первоклассниц. Что касается средних показателей, то они у мальчиков ниже, но здесь есть значительное перекрытие; некоторые мальчики справляются исключительно хорошо, а некоторые девочки — крайне плохо. Поэтому мы не можем принять это различие средних, не проведя тест на статистическую значимость. Только тогда можно будет решить, отражают ли наблюдаемые различия в выборке истинные различия в группе или же они объясняются ошибкой выборки. Если некоторые более одаренные девочки и некоторые более тупые мальчики оказались выбраны по чистой случайности, то различие можно объяснить ошибкой выборки.

В качестве еще одного примера предположим, что мы провели эксперимент по сравнению крепости рукопожатия у мужчин правшей и левшей. В верхней части табл. П5 показаны гипотетические данные такого эксперимента. Выборка из 5 мужчин-правшей в среднем на 8 кг сильнее выборки из 5 мужчин левшей. Что вообще можно вывести из таких данных о мужчинах левшах и правшах? Можно ли утверждать, что правши сильнее? Очевидно, нет, поскольку среднее, полученное у большинства правшей, не отличалось бы от среднего у большинства левшей; один примечательно отличающийся показатель величиной 100 говорит о том, что мы имеем дело с неопределенной ситуацией.

Таблица П5. Значимость различия

Пример 1

Сила сжатия в килограммах, Мужчина-правша	Сила сжатия в килограммах, Мужчина-левша
40	40
45	45
50	50
55	55
100	60
Сумма 290	Сумма 250
Среднее 58	Среднее 50

Пример 2

Сила сжатия в килограммах, Мужчина-правша	Сила сжатия в килограммах, Мужчина-левша
56	48
57	49
58	50
59	51
60	52
Сумма 290	Сумма 250
Среднее 58	Среднее 50

Два примера, показывающих различие между средними. Разница средних одинакова (8 кг) в верхней и нижней части таблицы. Однако, данные нижней части указывают на более надежное различие средних, чем данные в верхней части таблицы.