Педагогическая психология Талызина Н Ф (стр. 55 из 68)
Необходимость умножения доказывается учащимся через решение соответствующих задач. Например, предлагается узнать, сколько птичек можно накормить крупой, которая содержится в пакете. Каждой птичке нужна одна чайная ложка крупы.
Учащимся предлагается найти способы решения задачи. Работа чайными ложками отвергается как длительная. Столовые ложки дают сравнительно быстро результат, но ответ на вопрос задачи остается не полученным. Обязательно кто-то из детей догадается: «Надо измерить, сколько чайных ложек войдет в столовую». Измеряют. Допустим, входят две ложки.
ст. л. ст. л.
Дети логично воспринимают умножение как изменение меры: брали сразу по две чайных ложки. И, допустим, брали такой мерой пять раз. Отсюда появляется запись 2х5=10.
Работали мелкими мерами (чайные ложки), но брали сразу по две таких меры.
Деление вводится как действие, обратное умножению: переход на укрупненную меру. Допустим, есть 10 ложек крупы. Надо узнать, на сколько птичек хватит этой крупы, если каждая птичка съедает по две ложки. И надо знать, сколько раз содержится эта новая мера в измеряемом. Как видим, на основе меры и действия измерения можно показать детям и число, и действия с ним. Эти же понятия позволяют раскрыть перед учащимися различные системы счисления и позиционный принцип их построения. Каждый новый разряд системы счисления рассматривается как новая мера счета, а соотношения разрядов как соотношения мер, каждая из которых в определенное число раз больше, чем мера предыдущего разряда. Так, в десятичной системе 10 единиц первого разряда (единиц) дают единицу второго разряда (десятки) и т.д. Учащиеся сами образуют новые «меры счета», работая с разрядной сеткой.
Так, единицы любого разряда считаются и записываются одинаково, поэтому дети легко начинают выполнять все арифметические действия с единицами любого разряда.
Позднее меры используются также при изучении десятичных и обыкновенных дробей. Следует отметить, что при таком подходе к построению курса начальной математики логичней вводить вначале десятичные дроби, а потом уже обыкновенные. Десятичные дроби выступают как вторая часть системы счисления, где мера при переходе от разряда в разряд не увеличивается, а наоборот, уменьшается. Обыкновенные дроби выступают перед учащимися тоже как переход на новую меру измерения, но теперь мера уменьшается не в десять, а в какое-то другое число раз. Характерно, что учащиеся, работающие по данным программам, никогда не допускают таких распространенных в школе ошибок при сложении дробей, как выполнение этого действия отдельно вначале на числителях, а затем - на знаменателях.
Работая с мерами, учащиеся с самого начала усваивают, что складывать и вычитать можно только измеренное одной и той же мерой. Поэтому, чтобы сложить 1/4 и 1/6, необходимо привести их к общей мере - к общему знаменателю.
Отметим, что многолетний опыт работы по данной программе показал, что принципы ее построения позволяют учащимся глубоко проникнуть в основы систем счисления, легко переходить из одной системы в другую. Одновременно это дает серьезное сокращение времени, необходимое для усвоения начального курса математики. Наконец, учет закономерностей усвоения и возрастных особенностей детей при разработке методики обучения позволяет обеспечить полноценное усвоение данного курса всеми учащимися.
Аналогичный подход - через выделение основополагающих понятий и действий - следует реализовать применительно и к умениям, обеспечивающим решение задач.
11.4. Прием решения арифметических задач «на процессы»
Прежде всего отметим, что ориентировочная основа действий, составляющих умение решать эти задачи, лежит вне арифметики: для того, чтобы описать математическим языком ситуацию, приведенную в условии задачи, необходимо выделить в этой ситуации основные элементы и их отношения.
Все эти задачи основаны на одних и тех же понятиях: скорость, время и результат («продукт») процесса, к которому процесс приводит или который он уничтожает.
В силу этого учащимся можно дать общий прием решения всех арифметических задач на процессы, построить его ориентировочную основу по третьему типу. Ориентировочная основа умения решать задачи «на процессы» включает в себя понятия: скорость, время, продукт процесса.
Для успешного решения задач данного типа необходимо также понимать отношения между основными элементами ситуации: а) величина продукта прямо пропорциональна скорости и времени; б) время, необходимое для получения продукта, прямо пропорционально величине продукта и обратно пропорционально скорости и т.д. Далее важно усвоить, что по двум из этих элементов всегда можно найти третий, если речь идет об одном участнике процесса (об одной действующей силе). В самом деле, S = Vx Т; V = S : Т; Т = S : V. Наконец, если продукт создают несколько участников, то в этом случае появляется новая система отношений - отношения между частными и общими значениями по каждому параметру, определяемые характером участия отдельных сил: помогают участники друг другу или противодействуют, одновременно или разновременно участвуют в процессе и т.д. В данном случае общая скорость, например, может иметь следующее выражение: V0 = V1 + V2 (если участники помогают друг другу); V0 = V1 – V2 (если участники противодействуют) и т.д.
Все это входит в состав данного умения и составляет программу того, чему в данном случае следует учить. Только после усвоения всех основных элементов и их отношений может быть дан общий метод анализа, позволяющий устанавливать систему отношений в условиях любой конкретной задачи данного типа.
Прежде всего у обучаемых надо сформировать систему понятий: время, скорость, продукт процесса. Проверка показывает, что обычно учащиеся не владеют ни этими понятиями, ни отношениями между ними. Так, например, у многих учащихся не отдифференцировано даже время как определенный временной момент (точка отсчета) и время как некоторый временной интервал. (Если, например, в задаче говорится, что поезд отправился в 10 часов утра, учащиеся считают, что время его движения равно 10 часам.)
Формирование основных понятий - время процесса, скорость процесса и продукт процесса - завершается усвоением их отношений; учащиеся учатся находить любой из трех указных элементов по двум остальным. Формирование всех элементов должно осуществляться с поэтапной отработкой. На этапе материализованного действия широко используются пространственные схемы, модели. Так, например, скорость, продукт процесса изображаются в виде отрезка прямой, время - в виде отрезка, разделенного на соответствующее число частей. Учащемуся предлагается, допустим, получить продукт процесса по данной ему скорости и времени. Он получает его, откладывая отрезок, моделирующий скорость, столько раз, сколько частей содержит другой отрезок, моделирующий время. Это практическое действие учащийся без труда заканчивает математическим описанием, так как он только что получил продукт путем последовательного прибавления одной и той же величины, т.е. одно и то же брал определенное число раз. Поэтому ученик без труда записывает это как скорость, умноженную на время. Таким образом, исполнительные операции ученик может определять самостоятельно. Аналогично на этом этапе проходит усвоение и всех остальных компонентов умения.
После этого испытуемых надо учить выделять элементы в ситуации, описанной словами, анализировать условия задач по данному им плану. Это уже внешнеречевой уровень усвоения. План анализа имеет примерно такой вид:
1. Кто действует (F)?
2. Что получается в результате его действия (S)?
3. Сколько времени происходит действие (Т)?
4. Сколько выполняет за одну единицу времени (V)?
Учащихся учат находить в условии задачи данные, содержащие ответ на каждый из пунктов предписания, подчеркивать эту часть условия определенной линией и ставить под ней (или над ней) соответствующий символ (F, V, Т, S). После этого учащиеся записывают условие задачи с помощью символов, проставляя против каждого из них конкретные данные или ставя знак вопроса, если величина неизвестна.
Вот как выглядела одна из задач после анализа ее условий: «Три машины израсходовали за 10 часов (Т0) 250 л горючего (S0). Известно, что за это время первая машина израсходовала 60 л (S1,), а вторая - 110 л (S2) Найдите, сколько расходовала третья машина за час (V3)?»
И только после усвоения учащимися данной формы анализа следует учить их анализировать условие задачи про себя.
Вслед за усвоением всех выделенных элементов, их отношений и общего метода анализа условий задачи учащимся надо дать метод составления схемы ситуации и плана решения. Вначале это делается применительно к одному участнику, а затем - в условиях совместного действия, где участники процесса могут как помогать, так и мешать друг другу. Теперь дается уже общее предписание, позволяющее проанализировать условие задачи, составить схему ситуации и план решения. Предписание предлагает выделить в условии задачи участников процесса, то, как они действуют (помогают или противодействуют), время участия каждого из них и т.д. В результате такого анализа появляется запись условий задачи в определенной системе символов. Запись данных:
T0=10ч
S0= 250 л
S1 =60 л
S2= 110л
V3=?
После этого ученику предлагается выделить искомое, обозначить его соответствующим символом (V, S, Т, V2, T2, S2, и т.д.) и обвести кружком из пунктирной линии (знак неизвестного). В вышеприведенной задаче искомым является скорость третьего участника процесса (V3). Затем предлагается указать величины, с помощью которых ее можно получить. Ученик после усвоения основных элементов и их отношений знает, что она может быть получена только двумя путями: или через время (T) и продукт (S), относящиеся к третьему участнику, или через общую скорость и скорости отдельных участников. И он изображает следующее: