6 ⋅ ∑ d i2
rS = 1 − i =1, n −n3
где di - разность рангов для каждой i-пары из n наблюдений.
Если в вариационных рядах для X и Y встречаются члены ряда с одинаковыми ранговыми числами, то в формулу для коэффициента корреляции Спирмена необходимо внести поправки Tx и Ty на одинаковые ранги:
n
6 ⋅ ∑ d i2 l
rS = 1 − i =1, T = ∑ (t k − t k).
3
1
(n 3 − n) − (Tx + T y) k =1
2
Здесь l - число групп в вариационном ряду с одинаковыми ранговыми числами; tk - число членов в каждой из l групп.
Ранговый коэффициент корреляции Спирмена, как и линейный, изменяется от -1 до +1, однако значение рангового коэффициента корреляции Спирмена всегда меньше значения коэффициента линейной корреляции Пирсона: rS < r.
Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена проводится по-разному в зависимости от объема выборки.
1. Объем выборки больше 30 (n > 30).
Проверка нулевой гипотезы h0: с = 0 при альтернативной h1: с ≠ 0 осуществляется с помощью критерия Стьюдента и заключается в вычислении величины rS
t = ⋅ n−2,1 − rS2
имеющей распределение Стьюдента с df = n - 2 степенями свободы. Эмпирическое значение сравнивается с критическими значениями tб (n - 2).
Нулевая гипотеза с = 0 не отвергается, если эмпирическое значение попадает в область допустимых значений:
| t | ≤ t0,05 (df), df = n - 2.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена значимо отличается от нуля, если эмпирическое значение попадает в критическую область:
| t | > t0,01 (df), df = n - 2.
2. Очень малый объем выборки (n ≤ 30).
Проверка нулевой гипотезы осуществляется путем сравнения вычисленного коэффициента rS с критическими значениями rб (n), взятым из статистических таблиц для выбранного уровня значимости б и числа пар наблюдений n (табл.3.1). Нулевая гипотеза с = 0 не отвергается, если эмпирическое значение попадает в область допустимых значений:
| rS | ≤ r0,05 (n).
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена значимо отличается от нуля, если вычисленное значение попадает в критическую область:
| rS | > r0,01 (n).
Таблица 3.1
Критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена
| α α α |
| n n n |
| 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 |
| 7 0,745 0,893 15 0,518 0,654 23 0,415 0,531 |
| 8 0,690 0,857 16 0,500 0,632 24 0,406 0,520 |
| 9 0,663 0,817 17 0,485 0,615 25 0,398 0,510 |
| 10 0,636 0,782 18 0,472 0,598 26 0,389 0,500 |
| 11 0,609 0,754 19 0,458 0,582 27 0,383 0,491 |
| 12 0,580 0,727 20 0,445 0,568 28 0,375 0,483 |
| 13 0,555 0,698 21 0,435 0,555 29 0,368 0,474 |
| 14 0,534 0,675 22 0,424 0,543 30 0,362 0,466 |
В методике С.А. Будаси испытуемому предлагается проранжировать 20 качеств по степени желательности (ранг 20 присуждается самому желаемому качеству). Затем в другой колонке его просят проранжировать эти же качества по степени выраженности у него в данный момент (ранг 20 получает самое характйрное качество). На основе расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена делается вывод об уровне самооценки испытуемого. Результаты испытуемого С. О-ва приведены в таблице 3.2 Требуется рассчитать коэффициент корреляции Спирмена между выраженностью качеств у обследуемого испытуемого в данный момент и его идеальным представлением.
Решение:
Составляем расчетную таблицу, в которую заносим две ранговые последовательности (желаемую N и реальную N'), разности рангов d и d2.
Таблица 3.2
Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена
| Качества | N N’ d = N - N’ d2 |
| уступчивость | 14 15 - 1 1 |
| смелость | 15 18 - 3 9 |
| вспыльчивость | 2 16 - 14 196 |
| настойчивость | 13 13 0 0 |
| нервозность | 1 7 - 6 36 |
| терпеливость | 17 10 7 49 |
| увлекаемость | 12 20 - 8 64 |
| пассивность | 8 2 6 36 |
| холодность | 10 19 - 9 81 |
| энтузиазм | 9 17 - 8 64 |
| осторожность | 16 4 12 144 |
| капризность | 3 1 2 4 |
| медлительность | 18 6 12 144 |
| нерешительность | 7 11 - 4 16 |
| энергичность | 20 12 8 64 |
| жизнерадостность | 19 8 11 121 |
| мнительность | 4 3 1 1 |
| упрямство | 5 9 - 4 16 |
| беспечность | 11 14 - 3 9 |
| застенчивость | 6 5 1 1 |
| 1056 |
Значение коэффициента корреляции Спирмена подсчитываем по формуле
6 ⋅ 1056
rS = 1 − 3 = 0, 206.
20 − 20
Вследствие малого n (меньше 30) гипотезу о значимости коэффициента корреляции проверяем с помощью статистических таблиц. Для n = 20 имеем (см. табл.3.1):
h0? h1
⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
0, 206 0,445 0,568 r
Значение коэффициента корреляции rS = 0, 206 попадает в область допустимых
значений, что не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу. Коэффициент корреляции не отличается от нуля.
Вывод:
Отсутствует связь между выраженностью качеств у обследуемого испытуемого в данный момент и идеальным представлением.
В нашей работе мы рассмотрели методы математической обработки экспериментальных данных. Также выполнили практическую часть, произвели расчеты по методу ранговой корреляции Спирмена, высчитали коэффициент корреляции Спирмена между выраженностью качеств у обследуемого испытуемого в данный момент и его идеальным представлением. На основе расчетов, сделали вывод об отсутствии связи между выраженностью качеств у обследуемого испытуемого в данный момент и идеальным представлением.
Психология - это наука, которая исследует, наблюдает, анализирует. Она постоянно ищет свой путь в выявлении новых закономерностей и фактов. Математические методы обработки данных оказывают на этом пути дают неоценимую помощь. Они используют математические приемы, формулы, способы качественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности.
1. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии/Е.В. Сидоренко. - СПб.: - 2002.
2. Немов Р.С. Психология / Р.С. Немов. - М.: - 2005. - 630
3. Харченко М.А. Корреляционный анализ: Учебное пособие для ВУЗов / Л.М. Носилова. - Воронеж.: - 2008.