Оптимальная система автоматического управления (стр. 5 из 7)

Вывод: ни один метод или класс методов не выделяется своей собственной высокой эффективностью при решении оптимизационных задач различных типов, т.е. универсальностью. Инженер вынужден приспосабливать применяемый метод к конкретным характеристикам решаемой задачи.

4. Нахождение экстремума функции при наличии ограничения

4.1 Метод симплексных процедур

Дана функция:

.

Заданы ограничения:

Симплексом в пространстве n-измерений называют выпуклый многогранник, имеющий (n+1) вершин, не лежащих в подпространстве размерности, меньшей n.

Решение задачи нахождения условного экстремума функции двух переменных может находиться либо на границах выпуклого многогранника, либо на его вершинах.

1)

- точка безусловного экстремума. Полученная точка безусловного экстремума находится вне выпуклого многогранника и не удовлетворяет условию ограничения. Соответственно, полученная точка не является условным экстремумом.

2) Найдем экстремум для каждой грани по задаче Лагранжа.

Для грани j1 сконструируем вспомогательную функцию. Для этого сложим условный экстремум и некоторое число

, умноженное на левую часть уравнения связи с правой нулевой частью.

Получим:

,

где

- множитель Лагранжа. Множитель Лагранжа характеризует положение гиперплоскости в точке решения задачи на условный экстремум функции.

Найдем для первого условия значения координат возможной точки экстремума. Получим для грани j1:

Исследуем полученную функцию на экстремум Ферма:

Решая систему, получим координаты точки условного экстремума:

.

Выполним проверку, лежит ли точка A в данных ограничениях:

точка А может быть т. экстремума.

Значение целевой функции в данной точке равно:

Для грани j2 вспомогательная функция для этой грани будет иметь вид:

Имеем точку .

Проверка:

точка B лежит за пределами ограничений.

Для грани j3 вспомогательная функция для этой грани будет иметь вид:

имеем точку .

Проверка:

точка С лежит за пределами ограничений.

Для грани j4 вспомогательная функция для этой грани будет иметь вид:

имеем точку .

Проверка:

точка D лежит за пределами ограничений.

3) Исследуем вершины четырехгранника.

Рис. 4.1.

Находим координаты вершины фигуры, полученной при пересечении неравенств.

Пересечение 1 и 2 неравенства (точка P1):

имеем , значение функции в этой точке

Пересечение 2 и 3 неравенства (точка P2):

имеем , значение функции в этой точке

Пересечение 3 и 4 неравенства (точка P3):

имеем , значение функции в этой точке

Пересечение 1 и 4 неравенства (точка P4):

имеем , значение функции в этой точке

Вывод:

Минимальное значение функции достигается в точке

, .

Максимальное значение функции достигается в точке

, .

5. Синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина

Критерий управления, как отмечалось ранее, в этом случае

(5.1)

Мера ошибки в критерии H =1, а верхний предел T не известен. Начальная Х(0) = Х₀ и конечная Х(T) = Х_T точки закреплены.

Запишем функцию Гамильтона и условия трансверсальности:

(T) и (0)-произвольны.

Согласно принципу максимума Понтрягина, стратегия управления состоит в минимизации функции Гамильтона относительно u. Минимум Г будет тогда, когда

min по и

или

min по и

Отсюда

(5.2)

Таким образом, стратегия управления и характер u*(t) определены: оптимальное управление - это релейное управление, максимальное по величине, причем переключение управления производится тогда, когда функция

^ТВ пересекает ось времени t.

По изложенной методике определим оптимальное управление

, которое произвольное начальное состояние (х₁₀, x₂₀) переводит в начало координат за минимальное время Т.

Представим объект (1) в виде уравнения состояния (нормальная форма)

(5.3)

В рассматриваемом примере матрица

, вектор . Образуем матрицу .

Матрица G— невырожденная, поэтому система (5.3) будет нормальной. Характеристические числа матрицы A

= 0, поэтому система удовлетворяет условиям теоремы об n-интервалах. Оптимальное управление u*(t) является кусочно-постоянным и имеет не более двух интервалов постоянства.

Таким образом, управляющие последовательности в зависимости от начального состояния будут: {+ 1}, {-1},{+1,-1}, {-1, + 1}.

Обозначим u* = ∆=±1 и найдем общее решение системы при и* = ∆.

Имеем

Пусть при t = 0, х₁ = х₁₀, х₂= х₂₀. Тогда, исключив время tиз полученных выше равенств, найдем уравнение фазовых траекторий системы:

.