Механика вертолета (стр. 2 из 3)
Составим уравнения равновесия кольца, спроецировав все силы на направления осей y и z и взяв сумму моментов сил относительно центра кольца:
на ось y
; 
; 
; 
;на ось z:
; 
; 
; 
;относительно точки О:
; 
; 
. 
. (2.2)2.2 Определение внутренних силовых факторов
Воспользуемся способом непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений равновесия для кольца [1, с. 105]. Вследствие имеющей место симметрии ограничимся рассмотрением половины кольца (
). По характеру нагружения здесь выделяются два участка.Уравнения равновесия для первого участка (
): 
(2.3)Перед последним слагаемым в третьем уравнении системы (2.3) стоит знак «–», так как погонные нормальные силы
, направлены в сторону, противоположную принятому при выводе этих уравнений положительному направлению для 
.Уравнение равновесия для второго участка (
): 
(2.4)Рассмотрим решение первого дифференциального уравнения системы (2.3).
, (2.5)где
– частное решение.Найдем это частное решение. Для простоты записи примем:
; 
.Получили уравнение:
. (2.6)Составляем характеристическое уравнение:
; 
.Частное решение имеет вид:
. (2.7)Определим константы
и 
, для чего найдем 
: 
; 
Подставив
и в уравнение (2.6): 
; 
; 
получим:
. (2.8)Окончательно имеем:
; 
Для второй системы дифференциальных уравнений решение проводится аналогично.
(2.9) 
(2.10)Для определения неизвестных констант интегрирования воспользуемся граничными условиями и условиями сопряжения участков кольца:
при
: 1) 
;при
: 2) 
;при
: 3) 
; (2.11)4)
;5)
.Первые два условия из (2.11) справедливы, так как при симметричном нагружении кососимметричные факторы на оси симметрии равны нулю.
Для решения применим прикладной вычислительный пакет MathCAD (приложение 2). После того как неизвестные константы найдены, получим две системы уравнений:
первая система (
): 
(2.12)вторая система (
): 
(2.13)Для построения эпюр безразмерных силовых факторов
, 
, 
воспользуемся пакетом MathCAD (приложение 3). Результаты приведены в таблице 2.1 и представлены на рисунке 2.2.
Как видно из рисунка 2.2 опасными являются сечения при
(действует максимальный изгибающий момент 
, нормальная сжимающая сила 
, а перерезывающая сила 
) и при 
( 
, 
, 
).2.3 Определение перемещений с помощью тригонометрических рядов
Внешнюю нагрузку, приложенную к кольцу, представим в виде ряда:
. (2.14)Коэффициенты ряда (2.14) определяются при интегрировании левой и правой его частей в пределах от 0 до
:Таблица 2.1 – Безразмерные силовые факторы и перемещения для кольца
| φ, ° | Q | M | N | v | w |
| 0.00 | 0.0000 | 0.1271 | -0.3579 | 0.0000 | -0.0346 |
| 10.00 | -0.1118 | 0.1173 | -0.3628 | 0.0059 | -0.0322 |
| 20.00 | -0.2218 | 0.0882 | -0.3776 | 0.0110 | -0.0253 |
| 30.00 | -0.3285 | 0.0401 | -0.4022 | 0.0145 | -0.0149 |
| 40.00 | -0.2563 | -0.0110 | -0.4215 | 0.0161 | -0.0029 |
| 50.00 | -0.1825 | -0.0493 | -0.4206 | 0.0156 | 0.0088 |
| 60.00 | -0.1106 | -0.0748 | -0.4006 | 0.0131 | 0.0189 |
| 70.00 | -0.0437 | -0.0882 | -0.3637 | 0.0091 | 0.0261 |
| 80.00 | 0.0155 | -0.0905 | -0.3124 | 0.0042 | 0.0299 |
| 90.00 | 0.0648 | -0.0833 | -0.2500 | -0.0011 | 0.0300 |
| 100.00 | 0.1024 | -0.0686 | -0.1800 | -0.0061 | 0.0268 |
| 110.00 | 0.1274 | -0.0483 | -0.1061 | -0.0103 | 0.0206 |
| 120.00 | 0.1394 | -0.0249 | -0.0324 | -0.0132 | 0.0124 |
| 130.00 | 0.1389 | -0.0004 | 0.0375 | -0.0145 | 0.0030 |
| 140.00 | 0.1267 | 0.0229 | 0.1001 | -0.0142 | -0.0065 |
| 150.00 | 0.1045 | 0.0433 | 0.1522 | -0.0123 | -0.0151 |
| 160.00 | 0.0744 | 0.0590 | 0.1914 | -0.0090 | -0.0219 |
| 170.00 | 0.0386 | 0.0689 | 0.2157 | -0.0048 | -0.0263 |
| 180.00 | 0.0000 | 0.0723 | 0.2239 | 0.0000 | -0.0278 |
| 190.00 | -0.0386 | 0.0689 | 0.2157 | 0.0048 | -0.0263 |
| 200.00 | -0.0744 | 0.0590 | 0.1914 | 0.0090 | -0.0219 |
| 210.00 | -0.1045 | 0.0433 | 0.1522 | 0.0123 | -0.0151 |
| 220.00 | -0.1267 | 0.0229 | 0.1001 | 0.0142 | -0.0065 |
| 230.00 | -0.1389 | -0.0004 | 0.0375 | 0.0145 | 0.0030 |
| 240.00 | -0.1394 | -0.0249 | -0.0324 | 0.0132 | 0.0124 |
| 250.00 | -0.1274 | -0.0483 | -0.1061 | 0.0103 | 0.0206 |
| 260.00 | -0.1024 | -0.0686 | -0.1800 | 0.0061 | 0.0268 |
| 270.00 | -0.0648 | -0.0833 | -0.2500 | 0.0011 | 0.0300 |
| 280.00 | -0.0155 | -0.0905 | -0.3124 | -0.0042 | 0.0299 |
| 290.00 | 0.0437 | -0.0882 | -0.3637 | -0.0091 | 0.0261 |
| 300.00 | 0.1106 | -0.0748 | -0.4006 | -0.0131 | 0.0189 |
| 310.00 | 0.1825 | -0.0493 | -0.4206 | -0.0156 | 0.0088 |
| 320.00 | 0.2563 | -0.0110 | -0.4215 | -0.0161 | -0.0029 |
| 330.00 | 0.3285 | 0.0401 | -0.4022 | -0.0145 | -0.0149 |
| 340.00 | 0.2218 | 0.0882 | -0.3776 | -0.0110 | -0.0253 |
| 350.00 | 0.1118 | 0.1173 | -0.3628 | -0.0059 | -0.0322 |
| 360.00 | 0.0000 | 0.1271 | -0.3579 | 0.0000 | -0.0346 |
;