Определение оптимальных настроек ПИ-регулятора в АСР со звеном второго порядка с опозданием (стр. 3 из 5)

где

и –соответственно 1-е 3-е динамические отклонения регулированной величины от значения, которое установилось. Эти отклонения определяются непосредственно по графику ПП, но степень затухания может быть определена и другим путём

, (24)

Корневой показатель колебания, в свою очередь, связана с комплексной плоскостью корней характеристического уравнения АСР; буквально означает модуль отношения действительной части комплексного корня к мнимой. Комплексная плоскость корней уравнения показана на Рисунок 3. С теории автоматического управления известно, что если сопряженные корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости корней, то ПП имеет затухающую колебательную составляющую. Характеристическое уравнение 3-го порядка может иметь, кроме этого, действительный корень, который тоже должен находиться в левой полуплоскости. Он обуславливает наличие монотонной составляющей в результирующем ПП. Уравнения более высоких порядков могут иметь несколько пар корней, однако значение, которое определяет для результирующего ПП, имеет та пара корней, которая характеризуется н6аименьшим (по модулю) отношением действительной координаты к мнимой

, (25)

Все другие корни должны находиться внутри мнимого сектора, образованного началом координат, «опасной», близкой к фиктивной, оси, парой корней (Рисунок3). С изложенного видно, что настройки регулятора на значение коэффициента затухания ПП, который требуется, можно найти, определив для характеристического уравнения АСР граничную пару корней.

Это требование равносильно построению расширенной КЧХ, которая

(26)

должна быть получена из (3) путём замены S на

( потому, что корень должен находиться в левой полуплоскости).

С учётом (31)

можно заменить на . Для унификации вида ПП значение m условно нормированы, обычно применяются значения 0.22; 0.30; 0.37; 0.48.

Таким образом для заданного объекта расширенная по m КЧХ;

– корневой показатель колебательности

p₂, p₃ – «опасная» пара корней характеристического уравнения 5-го порядка.

Рисунок 5. Размещение корней характеристического уравнения АСР на комплексной плоскости.

Связь корневой показатель колебательности с корнями уравнения

(27)

После выполнения преобразований получим для построения расширенной КЧХ:

- по модулю и аргументу

(28)

- по действительной частью и мнимой

(29)

Легко заметить, что при m=0 выражения (28) и (29) сводятся к выражениям для обычной КЧХ данного объекта.

Формулы для определения пар настроек на всём диапазоне частот, которые обеспечивают заданное значение степени колебательности, могут быть получены из характеристического уравнения замкнутой АСР (22). Однако вместо составляющих

необходимо подставить в неё соответственно

Эти настройки будут найдены из условия сечения графиком расширенной КЧХ замкнутой системы критической (в смысле критерия Найквиста-Михайлова) точки с координатами (-1,j0), т.е. из условия

, (30)

(31)

Формулы (31) выражаются из формулы (23) при m=0. Необходимые данные (кроме тех, которые применялись на 1-м этапе вычислений) – построение области устойчивости АСР при m=0. Частота, при которой достигается оптимальная настройка регулятора, определяется по виду граничной кривой.

По результатам вычислений в области параметров настроек строится линия m=const, она должна размещаться внутри пределов устойчивости. На ней размещена точка, которая соответствует оптимальным настройкам Kp^*, Tu^*.Важным дополнительным условием для выделения этой точки может служить квадратичный интегральный критерий качества ПП. Он позволяет устранить влияние знака отклонения на общую оценку качества. Расчёт критерия на ЭВМ выполняется по формуле

(32)

гдеI – квадратичный критерий качества, ПП;

– зависимость модуля КЧХ замкнутой АСР от частоты;

– приращение (шаг изменения) частоты.

Частота, соответствующая минимуму квадратичного критерия, является собственной частью колебаний ПП, а настройки регулятора – оптимальными для достижения заданного значения степени колебательности.

3.8 Построение линии m=const и определение оптимальных настроек ПИ-регулятора

K:=2.8

m :=0.48

T:=15

ݗ:=5

Рисунок 6. Графическое изображение линии m=const.

Следуя теории, максимум построенной кривой – оптимальные настройки ПИ-регулятора. При помощи трассировки нашли следующие значения:

с

Для наглядности объединим графическое изображение зоны устойчивости и линии m=const (см. Рисунок 7)

Рисунок 7. Графическое изображение зоны устойчивости (2) и линии m=const (1)

3.9 Теоретические сведения, требуемые для построения КЧХ разомкнутой АСР

Как и раньше, дана КЧХ – Wpc(

) рассчитывается и строится по действительной и мнимой составляющими.

(33)

Или с учётом КЧХ ПИ-регулятора

(34)

Отсюда получим

(35)

По результатам вычислений необходимо построить график КЧХ и, ориентируясь на критерий Найквиста-Михайлова, определить запас устойчивости АСР по модулю – С и по фазе –

. Изменением значения Kp и Tu можно исследовать влияние настроек регулятора на запасы устойчивости АСР.

3.10 Построение КЧХ разомкнутой АСР. Определение запаса устойчивости по модулю и фазе

Т:=15