Лазерная система для измерения статистических характеристик пространственных квазипериодических структур (стр. 4 из 10)

Фрагмент квазипериодической пространственной структуры ЛЗ и соот-ветствующая ему функция пропускания

в сечении у=0 показаны на рис.4 (а и б), где Р_х - период пространственной структуры, равный .

Поскольку ширина

щелей и стенок являются величинами случайны-ми и взаимонезависимыми, то и период пространственной структуры ЛЗ будет также величиной случайной. Период является суммой двух случай-ных величин с нормальными законами распределения, следовательно, закон распределения также будет нормальным.

Таким образом, амплитудный коэфициент пропускания

прост-ранственной квазипериодической структуры ЛЗ может быть описан функ-цией вида

(2.4), где - порядковый номер щели, - пространственная координата положения начала щели, - высота перекрытия зубьев в квазипериодической структуре ЛЗ.

Из выражения (2.4) видно, что переменные х и у функции

взаимо-независимы, а поэтому эта функция является функцией с разделяемыми переменными, и может быть представлена в виде произведения функций и , т.е. (2.5).

В выражении (2.5) функция

является финитной в пределах высо-ты перекрытия зубьев верхней и нижней гребенок пространственной структуры ЛЗ вдоль координаты х, как показано на рис.4б.

Для оптической системы КОС пространственная структура ЛЗ является квазипериодическим сигналом. В свою очередь, основными характеристи-ками такого сигнала, т.е. пространственной структуры ЛЗ, являются:

· средние размеры

и ширины стенок и щелей, а также средние квадратические отклонения СКО и от них соответственно;

· законы распределения

и размеров стенок и щелей;

· спектральная и корреляционная функции.

Для описания спектральных и корреляционных функций случайных сигналов часто используются характеристические функции. Характеристи-ческая функция

случайной величины является фурье-образом ее закона распределения , т.е. , где - простран-ственная частота, измеряемая в [мм^-1], поскольку в рассматриваемом случае координата является пространственной и имеет размерность [мм].

Тогда с учетом

получим:

, а вводя замену переменных вида

. Этот интеграл в новых пределах интегрирования от до можно представить через элементарные функции следующим выражением

(2.6) , и аналогично (2.7).

Полученные выражения (2.6) и (2.7) являются характеристическими функциями квазипериодической пространственной структуры ЛЗ с нормаль-ным законом распределения ширины

стенок и щелей.

Как в оптических, так и в электронных устройствах спектрального анали-за сигналов, существует возможность получения как амплитудного, так и энергетического их спектров. Однако в теории спектрального анализа пространственных сигналов известно, что при использовании квадратичес-ких фотодетекторов для регистрации параметров дифракционного изобра-жения, формируемого оптической системой КОС, автоматически на ее вы-ходе формируется энергетический спектр исследуемого сигнала. Парамет-ры такого спектра могут быть измерены соответствующими контрольно-измерительными приборами, а форма его определена с применением мето-дов статистической радиооптики путем интегрального преобразования Винера-Хинчина, либо на основе теоремы Хилли.

Поэтому используя аналогию математических методов исследования спектральных характеристик пространственных и временных сигналов, распределение комплексных амплитуд спектра пропускания

в дифракционном изображении пространственной квазипериодической струк-туры ЛЗ, можно определить как , или с уче-том (2.5) .

Полученное выражение описывает амплитудный спектр функции

пропускания квазипериодической пространственной структуры ЛЗ. Энерге-тический спектр этой функции может быть определен с помощью теоремы Хилли [3.11] как , или же

.

Однако в работах [16, 17] показано, что для квазипериодического сигнала, описываемого единично-нулевой функцией вида (2.4)

(2.8), где - дискретная составляющая спектра на нулевой частоте, которая для квазипериодической структуры ЛЗ будет равна

(2.9) , а - непрерывная составляющая спектра, равная: (2.10), что справедливо для и не равных 1, согласно [3.35].

В выражениях (2.9) и (2.10) параметр

является пространственной частотой энергетического спектра исследуемого сигнала, величина которой определяется коэфициентом масштаба и зависит от схемы построения и геометрических размеров оптической системы КОС.

Для определения формы энергетического спектра пространственной структуры ЛЗ рассмотрим вещественную часть комплексной дроби в выражении (2.10), обозначив ее через В, т.е.

(2.11). Подставив в (2.11) выражения (2.6) и (2.7) характеристических функций и получим:

(2.12).

Выражение (2.12) представляет собой комплексную дробь вида

, вещественная часть которой равна (2.13).