Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы (стр. 1 из 3)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Исследование колебаний механической системы

с одной степенью свободы»

по разделу «Динамика»

Кафедра теоретической механики

Рецензия

На курсовую работу

Студента __Кисова Ивана____________

(фамилия, имя, отчество)

Группы _121142__________________

Вариант № ___ количество страниц

Курсовая работа по содержанию соотве-

тствует / не соответствует выданному

заданию и выполнена в полном / не в

полном объеме.

КР может быть допущена к защите с

добавлениембаллов рецензента

после успешной защиты.

Рецензент_______ /_____________

(Ф.И.О.)

«____»_____________200 г.

ТУЛА 200

Оглавление

Аннотация

Содержание задания

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1.Постановка второй основной задачи динамики

1.2.Определение закона движения системы

1.3.Определение реакций внешних и внутренних связей

2. Построение алгоритма вычислений

3. Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода

3.1. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа

3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода

Анализ результатов

Список использованной литературы

Аннотация

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F₀ * sin(pt).

Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты т_np,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей

Содержание задания

Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).

Исходные данные:

M1, М2,М3 - массы тел механической системы.

с - жесткость упругого элемента.

г₂ - радиус блока 2.

R₃, Гз -радиусы ступеней катка 3.

i₂ - радиус инерции блока 3.

µ - коэффициент сопротивления.

Fo — амплитуда возмущающей силы

m₁₌ 3mm₂₌ mm₃₌mm₄₌ 2m

r₂=r R₂=3rr₃=rr₄=2r

i₂=2r Xo=6 см Xo= 0 см/c

m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F ₀ = 50 Н F(t)= F ₀ sin(pt) c= 4000 Н/м μ=100Н*с/м

R= - μV

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.1. Постановка второй основной задачи динамики

Рис. 1 Расчётная схема

На рис. 1 обозначено:

P₁,P₂,P₃ - силы тяжести, N₁, N₂ - нормальная реакция опорной плоскости,

F_упр - упругая реакция пружины,

F_сц - сила сцепления с опорой,

Y₂,X_2, - реакции подшипника блока 2,

R = - µ*Vсила вязкого сопротивления,

F(t)- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

dT

dt= ∑N^e_k + ∑Nⁱ_k(1-1)

где Т- кинетическая энергия системы,

∑N^e_k- сумма мощностей внешних сил,

∑Nⁱ_k-сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:

T= T1+T2+T3.(1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

T₁₌ 1/2 m₁*υ²₁(1.3)

где V_l - скорость груза 1.

Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

T₂=1/2*m2*υ²2+1/2*Jc₂ω ²₂(1.4)

где

Jn₂ = m₂*i²₂: - момент инерции относительно центральной оси блока;

ω₂- угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение,

T₃=1/2*Jc₃ω²₃ гдеj_c3=1/2 m₃*r²₃ (1.5)

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение

T =1/2*m₄ *v_c4² +1/2*J_c4 * ω₄²гдеJ_c4 = Ѕ*m₄ *r₄²

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

T=1/2m₁υ₁²+ 1/2m₂ *v_c2² +1/2*Jc₂ω²₂ +1/2*Jc₃ω²₃ + 1/2*m₄ *v_c4²+1/2*J_c4 *ω₄²(1.6)

Выразим υ_n3.,ω_2,ω₃ через скорость груза 1

v_c2 = υ₁=υ=S; => ω₃= (R_{2 +} r₂)*v/R₃*V₃ v_c4 =ω ₄* r ₄ = (R_{2 +} r₂)*v/2R₂ (1.7)

ω₂ =v/r ₂

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V² за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc₂ т _пр /R₂² + Jc₃ * (R₂ - r ₂ ) ² / R₂ * r ₂ + m₄ (R₂ + r ₂ ) ² /4r²₂ + J_c4(R₂ - r ₂ ) ² /4r²₂R₂² )*υ₂

T=1/2m _трv₃ ²(1-8)

т _пр =m +m₂ +m₃ 1/R₂² + 1/2m₃(R₂ - r ₂ ) ² / R₂ + m₄ (R₂ + r ₂ ) ² /4r²₂ + m₄ (R₂ + r ₂ ) ² /4r²₂

т _пр=8, 21кг(1-9)

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

dT/dt= т _пр – S*S(1.10)

вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:

N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

∑N’=0(1.12)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N₄, ,Y₃,X₃,P₃,F_вд. Сумма мощностей внешних сил:

N=F*V+pV-RV+p₂V₂-F_упр*V₄

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1-13) N= F(t)*V₁ +p₁ V₁ -RV₁ + p₂V₁ -F_упр V₁ * R₂ +r₂ /2R_{2 ,}

N =( F(t) +p₁ – R +p₂ - F_упрR₂ +r₂ /2R₂)V₁ , или