Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы (стр. 2 из 3)
N= Fпр * V
Где Fnp приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ѓст и динамического S4 удлинений
Fупр=с(ѓст + S4 ) (1-15)
Сила вязкого сопротивления R =μ V = μ S тогда
Fпр= F(t)+p1 – μ*S+ p 2 – c(ѓст+ R2 +r2 /2R2 * S) R2 +r2 /2R2 , (1-16)
В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.
Пологая в (1-16) , что S=’S=0 и F(t)= 0 получаем условие равновесия
Fпр= p+ p2 = c *ѓст= R2 +r2 /2R2 =0, (1-17)
Отсюда статистическое удлинение пружины равно:
- c *ѓстR2 +r2 /2R2 = -p1- p ;
ѓстR2 +r2 /2R2 =(p 1 + p 2 )/c => ѓст =(p 1 + p 2 )/c* 2R2 / R2 +r2
ѓст =1/c (p 1 + p2) * 2R 2/R2 +r2 ;(1-18)
Подставляем выражение (1-18) в, (1-16) получаем окончательное выражение для приведенной силы .
ѓпр = F(t) + p1 +p2 - μS – c* R2 +r2 /2R 2 *1/c (p 1 + p2)* *2R 2/R2 +r2- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S
ѓпр= F(t) - μS- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S; (1-19)
Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;
mпр=S=- c*(R2 + r2 ) 2/4R22 *S- μS+ F0 sin(pt) (1-20)
S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt) ; (1-21)
Где k циклическая частота свободных колебаний ;
n = μ/2* mпр =100/2*8.21= 6.1с -1 ;
n – показатель степени затухания колебаний ;
k= R2 +r2 /2R2c/mпр =
1.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F = F0-Sm{pt),(2.1)
Где Fo - амплитуда возмущающей силы,
р - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=Sод+S . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:
S + 2*n*S + kz*S = 0;.(2.2)
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
L2+2*n*L + k2! =0,
L 1.2 = -n +- n 2 -k 2 ;
т.к n <k ,=> решение однородного уравнение имеет вид :
Sос =a * e*sin (k 1 *t +β ), где k 1 = k 2 -n 2 ; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:
k 1 =18,31с-1 ;
Sт= A* sin (pt) + B*cos(pt); далее получаем:
(A(k2 - p2 )- 2npB)*sin(pt) + (2 npA +B(k2 - p2 ) )cos(pt)= F0 /mпр*sin(pt);
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева , получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
A(k2 - p2 )- 2npB = F0 /mпр решая эту систему получаем следующие выражения
2npА + В(k2 - p2 )= 0
A= k2 - p2 / (k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; А= 0.011м;
B= - 2np/(k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; B= -0.002м;
Общее решение дифференциального уравнения :
S= αe–nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe–nt (-nsin(k 1 t+β) +k 1 cos(k 1 t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
Постоянные интегрирования αи βопределяем из начальных условий
S 0 = α sin(β) + B ;
t =0 имеем
S 0 = α(- nsin (β) + k 1 cos (β)) + Ap
решая эту систему получаем :
α= (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1/k 2 1 α= 0.045;
β= arctg k 1 (S 0 –B) 2 / S 0 +n(S 0 - B)- Ap β=1.2;
1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей  |
 |
 |
 | ||
 | ||
Рис.2
Рис. 2
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 2).
Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетической момента и теорема об изменения количества движения.
Тело№1 αm1 V1 /dt= p1 +T12 S+F+R; наось s : m1S 1=p1+F-R-T12 ;
Тело№2 αm2 V2 /dt= p2+T21 +T20+ T23; наось s : m2S=p2+ T21 -T20 -T23
т.кV2 = V1=V=S=>dV1/dt= dV2/dt;dl2z =∑M2 z
dJc2ω/dt= T20 R- T23 r 2 ;
Тело№3 dl 3z /dt=∑M 3z => dJc3ω 3/dt= T32 r 3 – T34r 3 ;
Αm3 V3/dt=x 3 +y3+p3+T34+T12
на ось 0x3 :0=x3 +T34 ; на ось 0y3 : 0=y3 - p3 - T32 ;
Тело№4 αm4V4 /dt=T 43 +P 4 +N 4 +Fcy+F упр ;
на ось 0x4 : m 4 S 4 =T 43 -F упр +Fsy
с учетом кинематических соотношений (1-7) полученную систему уравнений преобразуем к виду:
m 1 S= p 1 +F – R-T 12 ; 0 = N 4 - p 4 ; x 3 = T 34 R
m 2 S= p 2 +T 21 - T 20 -T 23 ; y 3 =p 3 +T 34 ‘
J c2 1/R 2 S = T 20 R 2 - T 23 r 2 ; J c4 m 4 R 2 +r 2 /2R 2 r 4 * S=T 43 *
J c3 R 2 +r 2 /R 2 r 3 S= T 32 r 3 - T 34 r 3 ; *r 4 - F cy r 4 R
m 4 R 2 +r 2 /2R 2 * S= T 43 - Fупр+F cy ;
Решая эту систему получаем выражение для определения реакций связей:
T 12 = m g + F 0 sin (pt) – μS – mS x2 = T43
T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32
T 23 = R22 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );
T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S
F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 *(JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);
Часть 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ
2,1 Исходные данные m1 , m2, m3 , m4 , r 2 , R 2, r 3 , r 4 , i2 ,μ , F0 , p , S0 , S0 , g ,c.
2,2 Вычисление констант
n = μ/2* mпр; k 1 = k 2 - n 2 ;
ѓст=1/c (p 1 + p2) * 2R 2/R2 +r2 ;
A= k2 - p2 / (k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр;
B= - 2np/(k2 - p2 ) 2 + 4n2 p2 * F0 /mпр;
α= (S 0 - B) 2 + (S 0 - B) - Ap) 2 1/k 2 1 ;
β= arctg k 1 (S 0 –B) 2 / S 0 +n(S 0 - B)- Ap ;
2,3 Задание начального времени t=0
2,4 Вычисление значений функций в момент времени t
S= αe–nt sin (k 1 t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe–nt (-nsin(k 1 t+β) +k 1 cos(k 1 t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt) ;
Fупр=с(ѓст + S4 );
2,5 Вычисление реакций связей
T 12 = m g + F 0 sin (pt) – μS – mS x2 = T43
T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32
T 23 = R22 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );
T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S
F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 *(JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);
2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t
2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ∆t
2.8 Проверка условия окончания цикла t ≤ tкон
2,9 Возврат к пункту 2,4
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжа:
(1)∑σAk+ ∑ σA 0k=0;
| где |
∑ σAk = ∑Fkσrk- сумма элементарных работ всех активных сил на
возможном перемещении системы;
- сумма элементарных работ всех сил инерции на
(=1*■=!
возможном перемещении системы.
Рис.3
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4, X3, Y3, Fcu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.
Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
∑ σA 0k= Aσ+ σAp + σAp1 +σAp2 + σAp4 + σAFупр ;
Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем: