Многомерные задачи оптимизации (стр. 6 из 6)

Новое решение (4.12), следовательно, лучше, поскольку значение целевой функции уменьшилось по сравнению с (4.11).

Следующий шаг начнем с выбора нового базиса. Примем ненулевые переменные в (4.12)

в качестве базисных, а нулевые переменные в качестве свободных. Из системы (4.8) найдем

(4.14)

Выражение для целевой функций запишем через свободные параметры, заменив

с помощью . Получим

(4.15)

Отсюда следует, что значение целевой функции по сравнению с (4.13) можно уменьшить за счет увеличения

поскольку коэффициент при этой переменной в (4.15) отрицательный. При этом увеличение недопустимо, поскольку это привело бы к возрастанию целевой функции; поэтому положим .

Максимальное значение переменной

определяется соотношениями (4.14). Быстрее всех нулевого значения достигнет переменная при . Дальнейшее увеличение поэтому невозможно. Следовательно, получаем новое опорное решение, соответствующее значениям , и определяемое соотношениями (4.14):

(4.16)

При этом значение целевой функции (4.15) равно

Покажем, что полученное решение является оптимальным. для проведения следующего шага ненулевые переменные в (4.16), т. е.

, нужно принять в качестве базисных, а нулевые переменные - в качестве свободных переменных. В этом случае целевую функцию можно записать в виде

Поскольку коэффициенты при

положительные, то при увеличении этих параметров целевая функция возрастает. Следовательно, минимальное значение целевой функции соответствует нулевым значениям параметров , и полученное решение является оптимальным.

Таким образом, ответ на поставленную задачу об использовании ресурсов следующий: для получения максимальной суммарной стоимости продукции при заданных ресурсах необходимо запланировать изготовление изделий А в количестве 35 штук и изделий Б в количестве 30 штук. Суммарная стоимость продукции равна 71 тыс, р. При этом все ресурсы стекла и рабочего времени будут использованы, а металла останется 10 кг.