Синтез системы стабилизации (стр. 2 из 4)
Приведем систему к единичной обратной связи. Для этого используем правило структурного преобразования системы. Структурная схема системы с учетом обратной единичной связи представлена на рис. 3.
Рис.3. Структурная схема исходной схемы, приведенной к единичной обратной связи.
ПФ замкнутой системы примет вид:
Найдем установившуюся ошибку исходной системы. Для этого нужно найти ошибку по входному сигналу и ошибку по возмущению.
Решаем выражение:
Подставим значения:
Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:
Подставив в полученное уравнение, получим:
2. Оценка точности и анализ качества исходной системы. Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ) исходной системы и определение ее устойчивости.
Для построения ЛАЧХ исходной системы, используем ПФ разомкнутой системы, полученную в предыдущем пункте:
Основным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения без применения вычислительной работы. Особенно когда ПФ может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклоном [20 дБ/дек].
Определим точки излома и пересечения с осями логарифмической координатной сетки нашей ПФ.
Для построения ЛАЧХ находится величина:
Определяем L(ω) при ω = 0;
L(ω)=20lgK=20lg16.8=20*1.225=24.5062
Постоянные времени:
Находим точки излома исходной ЛАЧХ:
Используя полученные значения, строим ЛАЧХ исходной системы (рис. 4, Lисх).
Используем средства математического пакета MATLAB, в частности, приложением Control System Toolbox, для определения устойчивости и частотных характеристик исходной системы.
Занесем ПФ разомкнутой системы в MATLAB, обозначив ее через W.
W=zpk([],[0,-86.36,-413.74,-10],16.8/(0.01158*0.002417*0.1))
Zero/pole/gain:
6002388.093
----------------------------
s (s+86.36) (s+413.7) (s+10)
Строим фазовую частотную характеристику (рис. 5), которую используют для определения фазового сдвига между входными и выходными колебаниями. Используем функцию margin.
>> margin(W); grid on
Рис. 5
Для определения запаса устойчивости определяют две величины: запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL.
Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза
, чтобы система оказалась на границе устойчивости.Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема л.а.х., при котором система окажется на границе устойчивости.
По рис. 5 определим запас устойчивости по фазе и амплитуде. В нашем случае запас по фазе Δφ = 33.1, запас по амплитуде ΔL = 13.4 Дб. Данные параметры системы являются неудовлетворительными и не соответствуют рекомендуемым значениям Δφ = 40÷600, следовательно система неустойчива.
Воспользуемся критерием Найквиста для определения устойчивости разомкнутой системы автоматического управления. Для этого построим годограф Найквиста от разомкнутой системы с помощью средств MATLAB (рис. 6). Используем функцию nyquist.
Рис.6
Увеличим область в начале координат.
Рис.7
Точка с координатой (0;-j) охватывает годограф, следовательно, исходная система неустойчива.
Для определения переходного процесса найдем ПФ замкнутой исходной системы, обозначив ее через F. Для этого используем команду feedback.
>> F=feedback(W,1)
Zero/pole/gain:
6002388.093
-----------------------------------------
(s+413.6) (s+88.99) (s^2 + 7.48s + 163.1)
Для определения времени, через которое наступит установившийся режим после подачи единичного ступенчатого воздействия строим переходную характеристику замкнутой системы, которая представлена рис. 8. При ее построении в MATLAB использовали функцию step.
>> step(F)
Рис. 8
Из рисунка видно, что процесс является сходящимся, (гармонические колебания затухают), а значит переходный процесс замкнутой системы устойчивый. Время переходного процесса 1,4 с.
Делая вывод из всего вышеперечисленного можно сказать, что система имеет характеристики не удовлетворяющие заданным параметрам. Для их улучшения необходимо в состав системы ввести дополнительно корректирующее звено (регулятор). Для этого, необходимо построить ЛАЧХ желаемой системы, с помощью которой получить ПФ корректирующего звена. Далее исследуем ПФ желаемой системы на критерий качества и реализуем корректирующее звено.
3. Построение желаемой ЛАЧХ. Определение желаемых передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы. Оценка показателей качества системы с использованием пакета MATLAB
Желаемая логарифмическая частотная характеристика может быть условно разделена на три части:
- низкочастотная часть (НЧ) определяется требуемой точностью работы системы, а коэффициентом усиления системы в разомкнутом состоянии и порядок ее астатизма;
- среднечастотная часть (СЧ) желаемой ЛАЧХ является наиболее существенной частью характеристики, т.к. ее вид определяет динамические свойства системы САУ;
- высокочастотная часть (ВЧ) мало влияет на динамику системы, поэтому она выбирается исходя из простоты корректирующего устройства.
3.1 Построение низкочастотной части желаемой ЛАЧХ
Низкочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет такой же наклон, как и ЛАЧХ исходной системы, она определяет точность работы системы и зависит от коэффициента усиления. В данном случаи строим низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ параллельно и на 3 Дб выше ЛАЧХ исходной системы.
Желаемая ЛАЧХ
должна пересекать ось абсцисс под наклоном -20 дБ/дек. Соединяя точки lg( 
) и 
, получаем прямую.При lg(ω) = 0, высота ЛАЧХ исходной равна:
L(ω) = 20lgK = 20lg16.8 = 24.5 Дб.
Высота ЛАЧХ желаемой = 27.5
3.2 Построение среднечастотной и высокочастотной частей желаемой ЛАЧХ
Через частоту среза проходит прямая -20 Дб/дек. Это является обязательным условием для получения качественной системы. Из-за широкой среднечастотной части, перерегулирование будет малым.
Частота среза
находится графически. Отмечаем полученные точки на горизонтальной оси желаемой ЛАЧХ, проводим требуемые наклоны и получаем среднечастотную часть.Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет произвольный вид, т.к. она практически не влияет на качество САУ. Однако, для упрощения корректирующего устройства, необходимо стремиться к тому, что бы она совпадала по наклону с исходной ЛАЧХ в указанной области частот. При этом требуется, чтобы высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ не заходила в запретную зону, образованную прямой с нулевым наклоном 0 Дб/дек.
По полученным точкам достраиваем высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ и получаем желаемую логарифмическую амплитудную характеристику (рис. 3,
).По виду получаемой желаемой ЛАЧХ записываем ПФ:
.Для того, чтобы правильно записать коэффициент в приведенной ПФ, осуществим переход от логарифмов:
; 
; 
Подставляем полученные коэффициенты в выражение для
и получаем: