Автоматизация процессов теплогазоснабжения и вентиляции (стр. 2 из 3)

Переходная характеристика определяется решением соответствующего динамического уравнения или экспериментальным путем, частотные характеристики также могут быть найдены из опыта или получены в результате анализа динамического уравнения с использованием методов операционного исчисления.

Интегральное преобразование Лапласа

Чтобы упростить и сделать более наглядным анализ динамического уравнения звена или автоматизированной системы в целом, в теории автоматического управления широко применяется операционный метод. Этот метод, основанный на интегральном преобразовании Лапласа, состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а некоторое ее видоизменение (изображение).

Преобразование Лапласа, которое определяет связь между оригиналом ff(т) и изображением Ffs), имеет вид:

где s - некоторая комплексная величина (s= i- мнимая единица.

Суть операционного метода состоит в том, что исходное дифференциальное уравнение, содержащее оригинал f(т), сводится с использованием преобразования Лапласа к алгебраическому уравнению относительно изображения F(s), причем величина s рассматривается как некоторое число. Полученное алгебраическое уравнение разрешается относительно функции F(s), а затем осуществляется обратный переход от изображения F(s) к оригиналу/(т), который и является искомым.

Процедура перехода от оригинала к изображению (прямое преобразование Лапласа) изображается символом £[Дт)|, а процедура перехода от изображения к оригиналу (обратное преобразование Лапласа) - символом L-'\F{s)].

Из выражения (2.1) могут быть выявлены основные свойства преобразования Лапласа.

2. Изображение произведения функции на постоянный коэффициент равно произведениюэтого коэффициента на изображение функции

1. Изображение суммы нескольких функций равно сумме изображений этих функций

3. Изображение постоянной определяется выражением

6. Изображение интеграла функции определяется зависимостью

Если в начальный момент времени (т^О) функция/(т) и ее производные до я-1 порядка включительно принимают нулевые значения, то выражение (2.8) примет вид:

Для удобства практического использования операционного метода в инженерных задачах на основе выражения (2.1) получены готовые соотношения для изображений различных функций. Изображения некоторых наиболее употребительных функций приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Изображения некоторых функций

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа и имеющиеся формулы связи оригиналов и изображений позволяют быстро отыскать оригинал по изображению функции или наоборот.

Анализ дифференциального уравнения динамики звена операционным методом. Передаточная функция

Применяя к дифференциальному уравнению (1.7) интегральное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях (когда при г=0 искомая функция и все ее производные обращаются в ноль), получим

Здесь F(s), Х($) - изображения функций у и jcсоответственно. Уравнение (2.11) можно представить в виде

Здесь комплексы A(s), B(s), fV(s) определяется выражениями

Таким образом, динамическое уравнение в изображениях имеет вид, сходный

по (Ьооме со статической характеристикой звена (1.1)

Входящая в выражения (2.12), (2.16) функция W(s) представляет собой отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала и называется передаточной функцией.

Передаточная функция fV(s) в динамическом уравнении является аналогом коэффициента передачи к в статической характеристике.

Передаточные функции типовых звеньев и некоторых объектов регулирования приведены в табл. 2.2.

Передаточная функция системы звеньев зависит от способа их объединения.

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функцией этих звеньев

Здесь i- номер звена; я - количество звеньев.

Передаточные функции типовых звеньев и некоторых объектов регулирования

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций этих звеньев

Передаточная функция цепи с обратной связью определяется выражением

где fV\(s) - передаточная функция прямой цепи; fV^s) - передаточная функция обратной связи; знак "+" соответствует отрицательной обратной связи, а знак положительной обратной связи.

Решение динамического уравнения. Расчет переходной характеристики

Из выражения (2.16) с учетом (2.13) - (2.15) следует, что применив интегральное преобразование Лапласа к линейному дифференциальному динамическому уравнению при нулевых начальных условиях, можно получить зависимость для изображения искомой функции в виде •

где P(s), Q(s) - некоторые полиномы относительно переменной s.

Применив к функции Y(s) обратное преобразование Лапласа, получим решение исходного динамического уравнения

где si - 1-й корень полинома Q(s); q - количество корней; Q\s)- производная функции Q(s) по переменной s.

С учетом (2.22) решение динамического уравнения примет вид

где S- некоторый числовой коэффициент.

Решение (2.23) может быть использовано в частности для расчета переходной характеристики. Для этого нужно описать приближенной аналитической функцией единичное ступенчатое изменение входной величины и с использованием этой функции сформировать полиномы P(s) и Q(s). Для приближенного описания единичного ступенчатого изменения входной величины может быть использована функция

Таким образом, если известно выражение для передаточной функции, то с использованием зависимости (2.25) нетрудно сформировать полиномы P(s) и Q(s). Например, для апериодического звена, передаточная функция которого в соответствии с табл. 2.2 определяется соотношением

полиномы P(s) и Q(s) имеют вид

Полином третьей степени (2.28) имеет 3 корня: s/=0; S2=-S; s₃=-

l/T.

Производная

Q'(s) функции Q(s) имеет вид

а ее значения, подставляемые в выражение (2.23), определяются соотношениями

С учетом (2.27), (2.30) выражение (2.23) для расчета переходной характеристики примет вид

Аналогично получается решение динамического уравнения при произвольном изменении входной величины. При этом вместо функции (2.24) выбирается другая функция, описывающая изменение входной величины.

частотные характеристики

Если известна передаточная функция звена, объекта или системы, то их частотные характеристики можно отыскать путем замены в этой функции переменной s на произведение ш, где i- мнимая единица,» -круговая частота. Полученную в результате такой замены функцию комплексного переменного fV(ico) можно представить в тригонометрической или показательной формах

Здесь А(со) - отношение амплитуд выходного и входного сигналов; ср^со) - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.

Зависимость относительной амплитуды А(со) от частоты со представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а зависимость сдвига по фазе ср(со) от частоты со - фазо-частотную характеристику (ФЧХ).