Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов (стр. 5 из 5)

где h = {1-e^-(1-^b⁾^l^t},

q = e^(r^a^-r-^a⁾^l^t

. (4.5.34)

Пример 4.5.13. Требуется определить вероятность безотказной работы системы с двумя исправными элементами из трех, если l=0,0005 ч^-1; a=0,3; t=200 ч. С помощью выражения для R_kn находим, что вероятность безотказной работы системы, в которой происходили множественные отказы, составляет 0,95772. Отметим, что для системы с независимыми отказами эта вероятность равна 0,97455. Система с параллельно-последовательным соединением элементов соответствует системе, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и ряда ветвей, содержащих воображаемые элементы, для которых характерны множественные отказы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с параллельно-последовательным (смешанным) соединением элементов можно определить с помощью формулы R_ps={1-(1-

)ⁿ}R₂, где m - число одинаковых элементов в ответвлении, n - число одинаковых ответвлений.

При постоянных интенсивностях отказов l₁ и l₂ это выражение принимает вид

R_рs (t) = [1-(1-e^-n(1-^a⁾^l^t)^m}e^-^al^t. (4.5.35)

Интенсивность отказов системы с параллельно-последовательным соединением элементов и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

l_ps(t)=al+mn(1-a)l

, (4.5.36)где l=1/[1-e^-n(1-^g⁾^l^t] и

. (4.5.37)

Система, элементы которой соединены по мостиковой схеме,соответствует схеме, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и последовательно подсоединенного к ним воображаемого элемента, для которого характерны множественные отказы. При множественном отказе гипотетического элемента вся система выходит из строя. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, можно вычислить по формуле

R_b={1-2(1-R₁)⁵+5(1-R₁)⁴-2(1-R₁)³-2(1-R₁)²}R₂ (4.5.38)

(здесь R_b - вероятность безотказной работы мостиковой схемы, для которой характерны множественные отказы). Эта формула при постоянных интенсивностях l₁ и l₂ принимает вид

R_b(t)=[1-2(1-e^-At)⁵+5(1- e^-At)⁴-2(1- e^-At)³-2(1- e^-At)²] e^-^bl^t. (4.5.39)

(здесь А=(1-a)l). Зависимость безотказной работы системы R_b(t) для различных параметров a показана на рис. 4.5.21. При малых значениях lt вероятность безотказной работы системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, убывает с увеличением параметра a.

Рис. 4.5.21. Зависимость вероятности безотказной работы системы, элементы которой соединены по мостиковой схеме, от параметра a

Интенсивность отказов рассматриваемой системы и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:
l_kn(t)=bl+A(-8p⁵+25p⁴-24p³+4p²+4p)+

, (4.5.40)

где p=(1-e^-At) и

Т₀=

. (4.5.41)

Пример 4.5.14. Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение 200 ч для системы с одинаковыми элементами, соединенными по мостиковой схеме, если l=0,0005 ч^-1 и a=0,3. Используя выражение для R_b(t), находим, что вероятность безотказной работы системы с соединением элементов по мостиковой схеме составляет примерно 0,96; для системы с независимыми отказами (т.е. при a=0) эта вероятность равна 0,984.

Модель надежности системы с множественными отказами

Для анализа надежности системы, состоящей из двух неодинаковых элементов, для которых характерны множественные отказы, рассмотрим такую модель, при построении которой были сделаны следующие допущения и приняты следующие обозначения:

Допущения (1) множественные отказы и отказы других типов статистически независимы; (2) множественные отказы связаны с выходом из строя не менее двух элементов; (3) при отказе одного из нагруженных резервированных элементов отказавший элемент восстанавливается, при отказе обоих элементов восстанавливается вся система; (4) интенсивность множественных отказов и интенсивность восстановлений постоянны.

Обозначения
P₀(t) - вероятность того, что в момент времени t оба элемента функционируют;
P₁(t) - вероятность того, что в момент времени t элемент 1 вышел из строя, а элемент 2 функционирует;
P₂(t) - вероятность того, что в момент времени t элемент 2 вышел из строя, а элемент 1 функционирует;
P₃(t) - вероятность того, что в момент времени t элементы 1 и 2 вышли из строя;
P₄(t) - вероятность того, что в момент времени t имеются специалисты и запасные элементы для восстановления обоих элементов;
l_i - постоянная интенсивность отказов элементов 1 и 2 (i=1,2);
m_i - постоянная интенсивность восстановлений элементов 1 и 2 (i=1,2);
m₃ - постоянная интенсивность восстановлений элементов 1 и 2;
a - постоянный коэффициент, характеризующий наличие специалистов и запасных элементов;
b - постоянная интенсивность множественных отказов;
t -время.

Рассмотрим три возможных случая восстановления элементов при их одновременном отказе:

Случай 1. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты имеются для восстановления обоих элементов, т. е. элементы могут быть восстановлены одновременно.

Случай 2. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты имеются только для восстановления одного элемента, т. е. может быть восстановлен только один элемент. Случай 3. Запасные элементы, ремонтный инструмент и квалифицированные специалисты отсутствуют, и, кроме того, может существовать очередь на ремонтное обслуживание. Математическая модель системы, изображенной на рис. 4.5.22, представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:

P'₀(t) = -

,
P'₁(t) = -(l₂+m₁)P₁(t)+P₃(t)m₂+P₀(t)l₁,
P'₂(t) = -(l₁+m₂)P₂(t)+P₀(t)l₂+P₃(t)m₁, (4.5.42)
P'₃(t) = -

,
P'₄(t) = -m₃P₄(t)+P₃(t)a.

При t=0 имеем P₀(0)=1, а другие вероятности равны нулю.

Рис. 4.5.22. Модель готовности системы в случае множественных отказов Приравнивая в полученных уравнениях производные по времени нулю, для установившегося режима получаем

,
-(l₂+m₁)P₁+P₃m₂+P₀l₁= 0,

-(l₁+m₂)P₂+P₀l₂+P₃m₁= 0, (4.5.43)

,
-m₃P₄+P₃a = 0,

Решая эту совместную систему уравнений, получаем

P₀=

, (4.5.44)

где

(P₁/P₀)=

, (4.5.45)

P₁=qP₀,

P₂=

P₃=

P₄=

Стационарный коэффициент готовности может быть вычислен по формуле

K_г=