Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов (стр. 2 из 5)
В частном случае, когда все элементы обладают одинаковой надежностью P1=P2=P3= ... =Pn, выражение (4.5.2) принимает вид
Р = Pn. (4.5.3)
Пример 4.5.1. Система состоит из 10 независимых элементов, надежность каждого из которых равна Р=0,95. Определить надежность системы.
По формуле (4.5.3) Р = 0,9510» 0,6.
Из примера видно, как резко падает надежность системы при увеличении в ней числа элементов. Если число элементов n велико, то для обеспечения хотя бы приемлемой надежности Р системы каждый элемент должен обладать очень высокой надежностью.
Поставим вопрос: какой надежностью Р должен обладать отдельный элемент для того, чтобы система, составленная из n таких элементов, обладала заданной надежностью Р?
Из формулы (4.5.3) получим:
Р =
.Пример 4.5.2. Простая система состоит из 1000 одинаково надежных, независимых элементов. Какой надежностью должен обладать каждый из них для того, чтобы надежность системы была не меньше 0,9?
По формуле (4.5.4) Р =
; lgР = lg0,91/1000; Р»0,9999.Интенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распределения времени до отказа легко определить из выражения
lс = l1 + l2 + l3 + ... + ln, (4.5.4)
т.е. как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Это и естественно, так как для системы, в которой элементы соединены последовательно, отказ элемента равносилен отказу системы, значит все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.
Формула (4.5.4) получается из выражения
Р = P1P2P3 ... Pn = ехр{-(l1 + l2 + l3 + ... + ln)}. (4.5.5)
Среднее время работы до отказа
Т0 = 1/lс. (4.5.6)
Пример 4.5.3. Простая система S состоит из трех независимых элементов, плотности распределения времени безотказной работы которых заданы формулами:
при 0 < t < 1 (рис. 4.5.5). 
Рис. 4.5.5. Плотности распределения времени безотказной работы
Найти интенсивность отказов системы.
Решение. Определяем ненадежность каждого элемента:
при 0 < t < 1.Отсюда надежности элементов:
при 0 < t < 1.Интенсивности отказов элементов (условная плотность вероятности отказов) - отношение f(t) к р(t):
при 0 < t < 1.Складывая, имеем: lс = l1(t) + l2(t) + l3(t).
Пример 4.5.4. Предположим, что для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют постоянные интенсивности отказов, равные соответственно l1=0,0001ч-1 и l2=0,0002ч-1. Требуется вычислить среднее время безотказной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы в течение 100ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времени t=0.
С помощью формулы (4.5.5) находим вероятность безотказной работы Ps заданной системы в течение 100ч:
Ps(t)=
.Ps(100)=е-(0,0001+0,0002)×100=0,97045.
Используя формулу (4.5.6), получаем
ч.Система с параллельным соединением элементов
На рис. 4.5.6 представлено параллельное соединение элементов 1, 2, 3. Это означает, что устройство, состоящее из этих элементов, переходит в состояние отказа после отказа всех элементов при условии, что все элементы системы находятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы.
Рис. 4.5.6. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов
Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 или элемент 2, или элемент 3, или элементы 1 и 2, 1; и 3, 2; и 3, 1; и 2; и 3.
Вероятность безотказного состояния устройства, состоящего из n параллельно соединенных элементов определяется по теореме сложения вероятностей совместных случайных событий как
Р=(р1+р2+...рn)-(р1р2+р1р3+...)-(р1р2р3+р1р2рn+...)-... ± (р1р2р3...рn). (4.5.7)
Для приведенной блок-схемы (рис. 4.5.6), состоящей из трех элементов, выражение (4.5.7) можно записать:
Р=р1+р2+р3-(р1р2+р1р3+р2р3)+р1р2р3.
Применительно к проблемам надежности, по правилу умножения вероятностей независимых (в совокупности) событий, надежность устройства из n элементов вычисляется по формуле
Р = 1-
, (4.5.8)т.е. при параллельном соединении независимых (в смысле надежности) элементов их ненадежности (1-pi=qi) перемножаются.
В частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы, формула (4.5.8) принимает вид
Р = 1 - (1-р)n. (4.5.9)
Пример 4.5.5. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р=0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.
Решение. По формуле (4.5.9) Р=1-(1-0,9)3=0,999.
Интенсивность отказов устройства состоящего из n параллельно соединенных элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов l0, определяется как
. (4.5.10)Из (4.5.10) видно, что интенсивность отказов устройства при n>1 зависит от t: при t=0 она равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до l0.
Если интенсивности отказов элементов постоянны и подчинены показательному закону распределения, то выражение (4.5.8) можно записать
Р(t) =
. (4.5.11)Среднее время безотказной работы системы Т0 находим, интегрируя уравнение (4.5.11) в интервале [0,¥]:
Т0=
=(1/l1+1/l2+…+1/ln)-(1/(l1+l2)+ 1/(l1+l3)+…)+ (4.5.12)
+(1/(l1+l2+l3)+1/(l1+l2+l4)+…)+(-1)n+1´
.В случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, выражение (4.5.12) принимает вид
Т0=
. (4.5.13)Среднее время работы до отказа также можно получить, интегрируя уравнение (4.5.7) в интервале [0,¥]
Пример 4.5.6. Предположим, что два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надежностных характеристик.
Требуется найти безотказность системы в течение 400ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивности отказов двигателей вентиляторов постоянны и равны l=0,0005ч-1, отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t=0.
Решение. В случае идентичных элементов формула (4.5.11) принимает вид
Р(t) = 2еxp(-lt) - еxp(-2lt).
Поскольку l = 0,0005 ч-1 и t = 400 ч, то
Р(400) = 2еxp(-0,0005´400) - еxp(-2´0,0005´400)=0,9671.
Среднюю наработку на отказ находим, используя (4.5.13):
Т0= 1/l(1/1 + 1/2) = 1/l´3/2 = 1,5/0,0005 = 3000 ч.
Способы преобразования сложных структур
Относительная простота расчетов надежности, основанных на использовании параллельно-последовательных структур, делают их самыми распространенными в инженерной практике. Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно представить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последовательной структурой. К таким преобразованиям относится:
- преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;
- разложение сложной структуры по базовому элементу.
Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, что надежности преобразуемой цепи сохранялись прежними.
Пусть, например, требуется заменить треугольник (рис. 4.5.7,а) звездой (рис. 4.5.7,б) при условии, что вероятность отказа элемента a равна q13, элемента b равна q12, элемента c - q23. Переход к соединению звездой не должен изменить надежность цепей 1-2, 1-3, 2-3. Поэтому значение вероятностей отказов элементов звезды q1, q2, q3 должны удовлетворять следующим равенствам:
(4.5.14) 
Рис. 4.5.7. Преобразование "треугольник - звезда"
Если пренебречь произведениями вида qiqj; qiqjqk, то в результате решения системы уравнения (4.5.14) можно записать:
q1=q12q31; q2=q23q12; q3=q31q23. (4.5.15)
Для обратного преобразования звезды в треугольник
q12=
; q23= 
; q31= 
. (4.5.16)Пример 4.5.7. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3,б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.