Расчет плоских и пространственных конструкций (стр. 2 из 7)

Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей

. Проведем систему координат и изобразим действующие на нее внешние силы: активные , , , , и реакции связей

Реакцию

катковой опоры направим перпендикулярно опорной плоскости, а реакцию неподвижной шарнирной опоры – изобразим двумя составляющими и , т. е. , направив их в положительном направлении координатных осей. Так как все указанные силы расположены в плоскости , то ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.

Так как на ферму действует произвольная плоская система сил и выполняется условие

, то ферма является статически определимой и расчет фермы можно осуществить методами теоретической механики.

Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму:

Последовательно решая систему уравнений , из второго уравнения найдем реакцию

Из третьего уравнения этой системы –

,

а из первого уравнения

Так как значение

получилось отрицательным, реакция направлена противоположно направлению, выбранному на расчетной схеме.

2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов

Метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению равновесия каждого узлового соединения фермы.

Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни – арабскими (рис. 3). Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим связи и заменим их действия реакциями – усилиями в стержнях, которые будем обозначать символом

. На рис показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами. Здесь учтена аксиома о равенстве сил действия и противодействия, т. е. . Реактивные силы изображены на рис в предположении, что стержни растянуты, т. е. направлены от узлов. Тогда реакция будет положительной, если стержень растянут, и отрицательной, если он сжат.

Рассмотрим теперь равновесие узлов фермы. Системы сил, действующие на каждый узел, являются сходящимися плоскими системами сил. Равновесие таких систем сил возможно, если их равнодействующая равна нулю. Это условие можно записать в виде

Так как в каждом рассматриваемом узле должно быть не более двух неизвестных реакций, выберем следующую последовательность решения

Составим уравнения равновесия для каждого из узлов и последовательно найдем реакции стержней фермы.

Узел I

Из уравнений с учетом найденных ранее реакций внешних связей найдем реакции

:

Узел II

Из уравнений , с учетом ,(4)

Узел III

Из уравнений , с учетом

Узел V

Из уравнений , с учетом

Узел IV

Из уравнений , с учетом

Узел VII

Из уравнений , с учетом (5),

Узел VI

Из первого уравнения системы , с учетом (7)

Узел VIII

Последнее уравнение системы и уравнения могут служить, при найденных ранее реакциях внешних связей, проверочными. Действительно

Результаты расчета сведем в таблицу.

Реакциястержня
Значениереакции,	380.73	0	129	242ю9	-14,64	-32,63	-102	-282,56	248,78	323,6	-101,99	157,81	520,57

Отрицательные значения реакций стержней показывают, что направления этих реакций противоположны принятым на расчетной схеме и, следовательно, они сжаты. Стержни при некоторых значениях сжимающих усилий могут потерять прямолинейную форму (изогнуться) и при дальнейших расчетах их необходимо проверять помимо прочности еще и на устойчивость. Значения реакций стержней положительны. Следовательно, эти стержни растянуты.

Выбор последовательности расчета, предложенной для нахождения искомых реакций, обусловлен тем, что решение уравнений равновесия осуществлялось в зависимости от найденных на предыдущем этапе решений, т. е. «вручную». Такая последовательность неединственная. Можно указать и другие последовательности решения.

При использовании метода вырезания узлов можно обойтись без предварительного нахождения реакций внешних связей (реакций опор фермы). Действительно, статически определенная и геометрически неизменяемая ферма содержит

стержня, где – число узлов; так как три уравнения необходимы для нахождения реакций опор, то для вычисления всех неизвестных сил (реакций опор и реакций стержней) нужно уравнений.