Проектирование системы автоматического управления (стр. 2 из 3)

Дифференциальное уравнение системы.

Спектральная характеристика системы определяется по формуле

Спектр выходного сигнала системы:

Спектральная характеристика системы:

Рис.10. Переходная функция, построенная спектральным методом

Рис.11. Реакция на

Фазовый сдвиг

2. Синтез регулятора

Так реальная переходная характеристика системы не удовлетворяет поставленным требованиям

, необходимо произвести коррекцию системы. В качестве корректирующего устройства ПИД –регулятор .

Эталонная переходная характеристика

Необходимо минимизировать следующую целевую функцию.

Метод оптимизации Дэвидона, Флетчера, Пауэла.

Согласно данному методу минимум ищется в направлении

- ищется на каждом шаге мини минимизацией

- некоторая симметричная положительно определённая матрица, которая при переходит в матрицу Гессе. Обычно при

достоинства этого метода высокая скорость сходимости, простота вычисления

- будем искать методом золотого сечения.

Параметры регулятора:

Рис.12. Графики переходных характеристик системы

3. Синтез робастного регулятора матричным методом.

Одним из возможных и перспективных способов решения задачи синтеза регуляторов является использования метода матричных операторов. Достоинством данного метода является возможность его применения для различных классов систем, в том числе нелинейных и нестационарных.

Рассмотрим линейную систему без неопределенности, описываемую в форме матричных операторов:

Очевидно, что для линейной системы без неопределенности справедливы следующие зависимости:

; ; .

Получаем следующую формулу расчета спектральной характеристики выходного сигнала:

Спектральная характеристика невязки между эталонной и реальной переходными характеристиками имеет вид:

,

где

– варьируемые параметры корректирующих устройств, подлежащие определению.

В приведенной формуле используется зависимость

, усложняющая вычислительный процесс. Можно воспользоваться другим, более простым подходом. Определим спектральную характеристику невязки следующим образом:

.

Перейдем к системе с неопределенностью:

,

где

– матричный оператор объекта, элементы которого зависят от .

Необходимо минимизировать целевую функцию вида:

,

где

– число элементов выборки.

Полученный функционал содержит полную информацию о параметрической неопределенности.

В качестве корректирующего устройства выберем ПИД-регулятор:

.

Пусть выборка составляет 1000 элементов. В качестве эталонного сигнала выберем

. В качестве ортонормированного базиса выберем систему функций Уолша (128 функций). Интервал исследования – .

имеют интервальную неопределённость 20%

Приведем здесь клетку

матричного оператора интегрирования:

Получены следующие значения коэффициентов регулятора:

Несколько примеров для произвольно взятых

, на которых представлены переходные характеристики эталонной системы и 4-х из семейства систем представлены на рис. 13.

Рис. 13. Графики эталонной и реальной переходных характеристик для разных значений параметра

: , , , ,

Приложение.

Программа 1.

Решения уравнения методом Стеффенсена.

function Stefens

clc

e=10.^-5;

x=-20;

x1=0;

i=0;

As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;

x=x-(As.^2)./((0.0125*((x+As).^3)+0.3*((x+As).^2)+4.886*(x+As)+61.72)+As);

As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;

A(1)=x;

i=i+1;

while abs(x-x1)>e

x1=x;

x=x-(As.^2)./((0.0125*((x+As).^3)+0.3*((x+As).^2)+4.886*(x+As)+61.72)+As);

As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;

A(i+1)=x;

i=i+1;

end

plot(1,A(1));

hold on

for n=1:i

plot(n,A(n),'b-o')

end

grid on

xlabel('iteraciya')

ylabel('roots')

disp('ответ');

disp(x);

disp('число итераций');

disp(i);

Программа 2.

Решение дифференциального уравнения численным способом.

clc

a2=24;

a1=390.88;

a0=4937.6;

b2=0;

b3=0;

b1=230.88;

b0=4617.6;

f1=b2;

f2=b1-a1*f1;

f3=b0-a1*f1-a2*f2;

B=[f1;f2;f3]

A=[0 1 0; 0 0 1;-a0 -a1 -a2]

h=0.02;

Xt=[0;0;0];

X(1,1)=Xt(1);

X(1,2)=Xt(2);

X(1,3)=Xt(3);

F=A*Xt+B;

% Разгонный метод

K1=h*F;t(1)=0;

K2=h*(F+K1/3);

K3=h*(F+K2/6+K1/6);

K4=h*(F+K1/8+3/8*K2);

K5=h*(F+K1/2-3/2*K3+2*K4);

Xt=Xt+(1./6)*(K1+4*K4+K5);

X(2,1)=Xt(1);

X(2,2)=Xt(2);

X(2,3)=Xt(3);

t(2)=t(1)+h;

F=A*Xt+B;

i=2;

%Неявный метод второго порядка

while t(i)<1.6

X1(1)=X(i-1,1);

X1(2)=X(i-1,2);

X1(3)=X(i-1,3);

Xt=Xt+(h./12)*(5*B+8*(A*Xt+B)-(A*X1'+B));

Xt=((eye(3)-(5./12)*h*A)^-1)*Xt;

X(i+1,1)=Xt(1);

X(i+1,2)=Xt(2);

X(i+1,3)=Xt(3);

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

h=0.9352-0.0629*exp(-17.6849*(t))-(0.8723*cos(16.4082*(t))-0.2357*sin(16.4082*(t))).*exp(-3.1576*(t));

for j=1:i

V(j)=X(j,1);

end

E=h-V;

plot(t,V,t,h,t,E); grid on

Программа 3.

Анализа заданной системы с использованием спектрального метода.

syms t T;

Kx=(4937.6./2)*(t-T).^2-390.88*(1./2)*(-2*(t-T))+24;

Ky=(4617.6./2)*(t-T).^2-230.88*(1./2)*(-2*(t-T));

for i=0:9

F6=0;

for j=0:i

m=i;

K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*t)./2));

F=(factorial(m))./(factorial(m-j));

F1=((-1.1552*t).^j);

F2=(factorial(j)).^2;

F3=K.*F;

F4=F1./F2;

F5=F3.*F4;

F6=F6+F5;

L(i+1)=F6;

end

end

for i=0:9

F6=0;

for j=0:i

m=i;

K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*T)./2));

F=(factorial(m))./(factorial(m-j));

F1=((-1.1552*T).^j);

F2=(factorial(j)).^2;

F3=K.*F;

F4=F1./F2;

F5=F3.*F4;

F6=F6+F5;

L1(i+1)=F6;

end

end

G=L'*L1;

In=Kx*G;

r=int(In,T,0,t);

Cx=int(r,t,0,1.5);

In=Ky.*G;

r=int(In,T,0,t);

Cy=int(r,t,0,1.5);

A=((Cx+eye(10))^-1)*Cy;

Cy=int(L,t,0,1.5);

Cx=A*Су'

function H=fun(t)

Cx=[-0.1275; 0.5090; 0.2483; 0.0697; -0.0459; -0.1140; -0.1472; -0.1555; -0.1468; -0.1275];