Кинематический анализ механизмов (стр. 2 из 3)

;

Величины ускорений

и определяем по формулам:

= ·ω²= ;

где: ε - угловое ускорение;

б) две точки принадлежат двум звеньям, образующим поступательную пару и в данный момент времени совпадают (рис.5).

Рис.5

Точка А принадлежит звену 1, точка В - звену 2. В данный момент времени точки А и В совпадают (точка В лежит над точкой А). Звенья 1 и 2 образуют поступательную пару с направляющей Н₁₂.

Скорость точки В складывается из 2-х скоростей - переносной и относительной. Переносным движением здесь является движение звена 1, поэтому скорость точки А - V_Aбудет переносной. Относительная скорость точки В равна скорости движения звена 2 относительно звена 1. При движении звена 2 относительно звена 1 точка В движется по прямой линии ββ, параллельной направляющей Н₁₂. Поэтому относительная скорость V_ВА параллельна Н₁₂.

Ускорение точки В, когда переносное движение не является поступательным, складывается из 3-х ускорений: переносного, т.е. ускорения точки А, относительного и поворотного, или Кориолисова. В относительном движении точка В движется по линии ββ, поэтому в этом движении точка В имеет только тангенциальное ускорение, направленное по этой линии, т.е. параллельно направляющей Н₁₂. Обозначим это ускорение через

. Поворотное (Кориолисово) ускорение обозначим через .

Векторные уравнения для скорости и ускорения точки В будут иметь вид:

Так как звенья 1 и 2 образуют поступательную пару, то они не имеют относительного вращения. Поэтому эти звенья обладают одинаковыми угловыми скоростями и угловыми ускорениями, т.е.: ω₂=ω₁ и ε₂=ε₁, где ω_{1 -} угловая скорость переносного движения (вращения звена 1).

Вектор

направлен в ту сторону, в которую окажется направленным вектор , если повернуть его на 90⁰ в направлении угловой скорости ω₁. Величина его определяется по формуле:

Определим скорость и ускорение ползуна кривошипно-ползунного механизма.

Дан план механизма, размеры ℓ_ОА, ℓ_АВ, ω₂, ε₂.

Найдем скорость и ускорение звена 4 (точки В) и угловые скорость и ускорение звена 3 (шатуна).

Рис.6

Зная ω₂, находим V_А=ℓ_ОА·ω₂. Скорость V_А изобразим на плане скоростей в виде отрезка "Pа", перпендикулярного ОА (рис.7). Поршень (звено 4) движется поступательно, поэтому все его точки имеют ту же скорость и то же ускорение, что и точка В.

Рис.7 Рис.8

Однако точка В принадлежит не только звену 4, но и звену 3. Точно также точка А есть общая точка для звеньев 2 и 3. Таким образом, на звене 3 имеются две точки А и В, удаленные друг от друга на расстояние ℓ_АВ. Поэтому скорость точки В:

где: ║ ;

В соответствии с этим уравнением строим план скоростей. Проводим через точку а линию, перпендикулярную к АВ, а через точку Р - линию перпендикулярную Н₄₁. В точке пересечения ставим в. Отрезок Рв изображает скорость точки В, а отрезок ав - скорость точки В относительно А (V_ВА). Угловую скорость звена 3 находим по формуле:

Перенеся вектор

в точку В, находим направление ω₃ (против часовой стрелки).

Ускорение точки А:

где:

и ;

Отложив от полюса

(рис.8) ускорение и в виде отрезков и , находим полное ускорение точки А (отрезок ).

Ускорение точки В:

где:

; ║ и АВ;

Ускорение

направлено от точки В к точке А. Отложив от точки а^′ (на плане ускорений) отрезок а^′в^′′, соответствующий , проводим через точку в^′′ линию, перпендикулярную АВ. Через полюс Р^′ проводим линию, параллельную Н₄₁. Эти линии пересекаются в точке в^′, отрезок Р^′в^′ представляет искомое ускорение точки В (W_B), а отрезок в^′′в^′ - ускорение . Из сопоставления направлений W_Bи V_Bзаключаем, что звено 4 в данный момент движется замедленно.

Угловое ускорение звена 3 находим по формуле:

.

Перенос вектора

в точку В показывает, что ε_3, как и ω₃, направлено против часовой стрелки.

В уравнениях вектор, известный по величине и направлению подчеркиваем двумя линиями, а вектор, известный только по направлению - одной линией.

5. Кинематические диаграммы

Кинематическая диаграмма представляет собой графическое изображение одного из кинематических параметров (перемещений, скорости и ускорения) точки либо звена исследуемого механизма в функции времени, угла поворота или перемещения ведущего звена этого механизма, т.е. в функции обобщенной координаты. Кинематические диаграммы дают полную кинематическую характеристику механизма.

Построим кинематические диаграммы кривошипно-ползунного механизма.

Для перемещений S_B, скоростей V_Bи ускорений W_В точки В, как перемещающейся прямолинейно, удобно строить кинематические диаграммы в виде зависимостей этих величин от времени tили обобщенной координаты φ₂, т.е. строить графическое изображение зависимостей:

S_B=S_B (t), V_B=V_B (t), W_B=W_B (t) или:

S_B=S_B (φ₂), V_B=V_B (φ₂), W_B=W_B (φ₂)

если угол φ₂ поворота звена 2 выбран в качестве обобщенной координаты.

Если исследованию подлежат угловые перемещения φ₃, угловые скорости ω₃ и угловые ускорения ε₃ шатуна 3, то можно построить графическое изображение зависимостей:

φ₃=φ₃ (t), ω₃=ω₃ (t), ε₃=ε₃ (t)

φ₃=φ₃ (φ₂), ω₃=ω₃ (φ₂), ε₃=ε₃ (φ₂)

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω₂.

5.1 Построение диаграммы перемещений

1) Вычерчиваем схему механизма в масштабе μ_е

в нескольких, например, двенадцати положениях, соответствующих последовательным поворотам кривошипа ОА на 30⁰ (рис.9). За начальное положение кривошипа принимаем ОА₀, при котором ползун В занимает крайнее правое положение В₀;

2) строим оси координат S_B-t (рис.10а) и на оси абсцисс откладываем отрезок ℓ в мм, изображающий время одного полного оборота кривошипа в масштабе:

; где: рад/мм, ;