Теория оболочек (стр. 5 из 5)

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

= /A₂ + A_2,1 / (A₁A₂) + k₂ + 0,5

= q_2,2/A₂ + A_2,1 / (A₁A₂) q₁

e₁₂= e₁₂ - 0,5w₁₂w₂₁ = e₁₂ + 0,5q₁q₂ =

(w₂₁ = -q₂)

= 0,5 [ (A₂/A₁) ( /A₂),₁ + (A₁/A₂) ( /A₁),₂] + 0,5q₁q₂

= 0,5 [ (A₂/A₁) (q₂ /A₂),₁ + (A₁/A₂) (q₁/A₁),₂]

Введем в рассмотрение плоский тензор деформаций

= e₁₁e₁e₁ + e₁₂ (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂₂e₂e₂

Он может быть записан в другой форме:

= + a₃ , где

= e₁e₁ + (e₁e₂ + e₂e₁) + e₂e₂ (b = 0,1)

Таким образом использование геометрической гипотезы Кирхгоффа-Лява приводит к линейному распределению перемещений и деформаций по толщине оболочки. В компактной форме можно записать:

= 0,5 (Ñu+ Ñu^T) + w + 0,5qq

= 0,5 (Ñq + Ñq^T)

характеризует деформации растяжения-сжатия срединной поверхности S, - изменение кривизн и кручение срединной поверхности.

Определение напряженного состояния оболочки

dS = H₂ da₂da₃ = A₂ (1 + a₃k₂) da₂da₃

S₁₁ =

A₂ (1 + a₃k₂) da₃da₂= A₂da₂×

×

(1 + a₃k₂) da₃, A₂da₂ –

длина средней линии.

Введем усилия на единицу длины:

T₁₁ = S_11/ (A₂da₂)

(1 + a₃k₂) da₃

Аналогично:

T₁₂ =

(1 + a₃k₂) da₃;

T₂₂ =

(1 + a₃k₁) da₃;

T₂₁ =

(1 + a₃k₁) da₃

T_ab- усилия растяжения-сжатия в срединной поверхности оболочки. В дальнейшем:

T_ab =

da_{3 (}a, b) = 1,2, = T_abe_ae_b = T₁₁e₁e₁ + T₂₂e₂e₂ + T_{12 (}e₁e₂ + e₂e₁)

Введем изгибающие моменты

М_ab =

a₃da₃

= M₁₁e₁e₁ + M₂₂e₂e₂ + M_{12 (}e₁e₂ + e₂e₁)

Q_b =

da_3,b = 1,2 s_b- перерезывающие силы

Q = Q₁e₁ + Q₂e₂

Свяжем напряженное состояние с ее деформир.:

Замечание о возможности использования линейных физич. соотношений

Материал: однородный, изотропный

Обобщенный закон Гука:

e₁₁ = (1/E) [s₁₁ - n (s₂₂ + s₃₃)] e₁₂ = (1/2m) s₁₂

e₂₂ = (1/E) [s₂₂ - n (s₁₁ + s₃₃)] e₂₃ = (1/2m) s₂₃

e₃₃ = (1/E) [s₃₃ - n (s₁₁ + s₂₂)] e₁₃ = (1/2m) s₁₃

E = 2m (1 + n)

Теория - геометр. нелинейная, но физич. - линейная.

По 2-ой гипотезе Кирхгофа-Лява:

s₃₃ = 0

s₁₁ - ns₂₂ = Ee₁₁ Þs₁₁ = E / (1-n²) (e₁₁ + ne₂₂)

s₂₂ - ns₁₁ = Ee₂₂ s₂₂ = E / (1-n²) (e₂₂ + ne₁₁)

s₁₂ = 2me₁₂ E / (1 + n) e₁₂

T₁₁ =

da₃ = / (1-n²) (e₁₁ + ne₂₂) da₃ =

= E / (1-n²)

= (Eh) / (1-n²)

- т.к материал - однород.

B = (Eh) / (1-n²) - жесткость на растяж. - cжатие

T₁₁ = B

; T₂₂ = B ;

T₁₂ = (Eh) (1+n)

= B (1-n)

M₁₁ =

=

= E / (1-n²)

= (E) / (1-n²)

=

= (Eh³) / (12 (1-n²))

M₁₁ = D

, D = (Eh³) / (12 (1-n²)) - жесткость на изгиб (цилиндрическая жесткость)

M₂₂ = D

; M₁₂ = D (1-n) .