Предельное равновесие балок и рам (стр. 4 из 5)

Пример 5. Один раз статически неопределимая рама загружена силой F (Рис. 8). Найти предельное значение силы.

BB₁

F B C F_u B₁ C₁

M_u M_u

a a

Cхема перехода в предельное состояние

Рис. 8

Рама перейдёт в предельное состояние, когда в узлах В и С появятся пластические шарниры. Конфигурация возникшего при этом механизма будет определяться одним параметром – углом a. Суммарная работа всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях запишется:

F_u×BB₁ – M_ua- M_ua = 0; a = BB₁ / L Þ

F_u = 2M_u / L.

Пример 6. Статически неопределимая двухпролётная балка загружена равномерно распределённой нагрузкой q и силой F = qL (L = 1м). Размеры поперечного сечения заданы в мм. Материал – Ст.3 следует диаграмме Прандтля: s_y = 240 МПа; коэффициент запаса по текучести n_y = 1,5; допускаемое напряжение s_adm = s_y/n_y = 160 МПа. Выполнить следующе:

1) Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для упругой стадии работы балки.

2) Определить для заданного сечения балки, исходя из упругой работы, допускаемую интенсивность нагрузки q_adm.

3) Найти предельный момент M_u для заданного сечения.

4) Исходя из расчёта по методу предельного равновесия, найти предельную нагрузку q_u. Найти нагрузку q^u_amd, которую можно допустить, основываясь на методе предельного равновесия. Коэффициент запаса по текучести оставить прежним.

1) Раскроем статическую неопределимость. Используем для этого способ ''уравнения трёх моментов''. Разрежем балку над опорой 2 и поместим туда шарнир (Рис. 9). Основная система будет представлять собой две однопролётные балки, эпюры моментов для которых показаны на Рис. 9а. Уравнение трёх моментов для опоры 2 запишется:

2M₂( 3L + 2L ) = - 6 [( (2/3)(qL²/2)×2L×L + ½(2qL²/3)×2L×(4L/3) +

+ ½(2qL²/3)×L×(7L/3))/(3L) – ½(qL²)×2L×L/(2L)];

откуда найдём опорный момент: M₂ = -qL² /6 »- 0,1667qL² .

Эпюра опорного момента показана на Рис. 9б. Складывая эпюру опорных моментов с эпюрой моментов в основной системе (Рис. 9а), получим эпюру моментов для статически неопределимой балки (Рис.9в). Найдём максимальное значение момента в левом пролёте, для чего загрузим пролёт 1 – 2, помимо заданной нагрузки, найденным опорным моментом М₂ (Рис. 10).

0,1667qL²

R₁zR₂

2LL

Рис. 10

Найдём левую опорную реакцию: R₁ = 4qL/3 – 0,1667qL²/3L» 1,2778qL

Изгибающий момент в произвольном сечении с координатой z определится: M = 1,2778qL – qz²/2; условия экстремума: dM/dz = 0 Þ

z = 1,2778L , maxM = 0,8164qL² .

2) Определим нагрузку, которую можно допустить на балку, основываясь на упругом расчёте. Вначале найдём геометрические характеристики заданного сечения (Рис. 11). Площадь поперечного сечения: А = А₁ + А₂ = 10 + 12 = 22 см². Определим положение центра тяжести сечения.

Найдём статический момент площади поперечного сечения относительно оси x₂: S_x₂ = A₁b = 10×4 = 40 см³. Координата центра тяжести определится: b₂ = S_x₂/A = 40 / 22 » 1,82см.

Момент инерции сечения:

A₁I_x = I_x₁ + A₁b₁² + I_x₂ + A₂b₂² =

x₁ = 5×2³/12 + 10×2,18² + 2×6³/12 +

b₁ + 12×1,82² = 126,5 см⁴ .