Предельное равновесие балок и рам (стр. 2 из 5)

А С

В₁M_u 2a

L /2 L /2

Рис. 4

Очевидно, что для перехода балки в предельное состояние необходимо появление одного пластического шарнира. Он появится в средине пролёта, под силой. Используем принцип возможных перемещений и запишем уравнение работ: F_u×BB₁-M_u×2a = 0,

здесь учтено, что работа внутренних сил всегда отрицательна, т.к. они направлены в сторону противоположную перемещению. Кроме того, мы полагаем, что т. к. угол a- мал: a = 2ВВ₁ / L . Тогда значение предельной силы будет равно:

F_u = 4M_u/ L .

При заданном сечении, а также известном пределе текучести M_u легко вычисляется, согласно изложенному выше и, следовательно, поставленная задача решена.

Пример 2. Двухпролётая, один раз статически неопределимая балка загружена в левом пролёте сосредоточенной силой (Рис. 5). Найти предельное значение силы.

F

^{L 2L 2L}

F_uM_u

AaBbC

M_uB₁ a+b

Схема перехода в предельное состояние

Рис. 5

Предельное состояние будет достигнуто в том случае, если появятся два пластических шарнира – один под силой, другой на опоре С. Уравнение работ запишется:

F_u× BB₁- M_u(a+b)- M_u×b = 0, где: a= BB₁/ L ; b= BB₁/ 2L ;

тогда: F_u =2,5M_u/ L.

Обратим внимание на тот факт, что для определения предельной нагрузки не было необходимости раскрывать статическую неопределимость балки. Здесь было сразу ясно, что наибольшие изгибающие моменты, а, следовательно, и пластические шарниры образуются под силой и на промежуточной опоре. В более сложных случаях знание упругого состояния может быть полезным, хотя с принципиальной точки зрения необязательным, т. к. можно перебрать все кинематически возможные схемы перехода в предельное состояние и отобрать истинную с помощью кинематического экстремального принципа.

Пример 3. Двухпролётная статически неопределимая балка загружена равномерно распределённой нагрузкой, приложенной в левом пролёте (Рис. 6). Найти предельную нагрузку для балки.