Повышение эффективности процессов обжима трубчатых заготовок давлением импульсного магнитного поля (стр. 6 из 20)
. (2.11)2) приращение пластической деформации может быть получено из ассоциированного закона пластического течения
. (2.12)В данной задаче в качестве условия текучести принят критерий Мизеса
.Здесь
- напряжения в элементе, 
- предел текучести, Аp- работа пластического формоизменения.Для описания нагрева проводников при условии адиабатности процесса применимо выражение
 , | (2.13) |
где r – плотность материала; с – удельная теплоемкость материала; t - время процесса.
Приведенные выше уравнения достаточны для расчета электромагнитного поля, плотности тока, перемещений, напряжений и деформаций в любой точке исследуемой электромеханической системы, если задать начальные и граничные условия.
Спецификой уравнений Максвелла является то, что выделяют 2 типа граничных условий: условия сшивания полей в разных областях, являющиеся следствием интегральной формы уравнений Максвелла, и граничные условия на бесконечности. Первые выполняются автоматически после перехода от дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям относительно потенциалов, а вторые - за счет рассмотрения токов в конечной области.
Граничные условия задачи механики сводятся к заданию на части поверхности Г1 напряжений, а на части Г2 – перемещений:
 . | (2.14) |
Начальные условия задают распределения плотности тока
, напряженности стороннего электрического поля 
, перемещений 
и скоростей 
в момент начала процесса:  . | (2.15) |
где r – радиус-вектор, u0 - начальное перемещение; v0 - начальная скорость.
В уравнения Максвелла входят параметры электромагнитного поля. Оно существует не только в проводниках, но и в окружающей элементы электромеханической системы среде. Чтобы исключить необходимость рассмотрения поля вне проводников, в системе уравнений электродинамики параметры магнитного поля были выражены через плотность тока. С целью обеспечить тождественное выполнение равенства (2.1), введем векторную функцию
, называемую векторным потенциалом магнитного поля, так что  . | (2.16) |
Тогда уравнение (2.2) перепишется в виде
 . | (2.17) |
Или, полагая
и m=const,  , | (2.18) |
где
- оператор Лапласа.Уравнение (2.4) преобразуется следующим образом:
 . | (2.19) |
Решение уравнения (2.18), исчезающее на бесконечности, имеет вид:
 , | (2.20) |
где а, b – радиус-векторы двух произвольных точек, принадлежащих проводникам, V – объем, занимаемый проводниками.
Подставим
и в выражение закона Ома  | (2.21) |
Используя выражение (2.20) и преобразовывая двойное векторное произведение, дифференцируя (2.20) по времени и пренебрегая скоростями, получим
или после преобразований
(2.22)Получили интегральное по пространству и дифференциальное по времени уравнение относительно плотности тока. Все дальнейшие уравнения для математической модели электродинамических процессов будут основаны на (2.22).
2.2 Математическая модель электродинамических процессов в одновитковом индукторе
Как отмечалось выше, задачу электродинамики для МИОМ можно считать осесимметричной. При этом одновитковый индуктор (или виток) представляется кольцом прямоугольного сечения, а многовитковый - набором таких колец. Так как токи текут исключительно по окружности (следствие осевой симметрии), вектор плотности тока характеризуется только одной компонентой. Тогда можно перейти от векторных уравнений к скалярным, проинтегрировав (2.22) по длине витка индуктора и представив объемный интеграл в виде интеграла по площади и интеграла по контуру и перейдя к цилиндрическим координатам. С учетом того, что
, (2.23)еще раз проинтегрируем (2.22) по контуру и получим
(2.24)Выражение
есть ни что иное, как взаимная индуктивность двух элементарных круговых контуров l1 и l2. Перепишем (2.24) с учетом этого 
, (2.25)где
- плотность тока, 
– напряжение на конденсаторной батарее, 
- удельная проводимость, 
- емкость конденсаторной батареи, 
– общая площадь сечения индуктора и заготовки.Дополнительно к (2.25) требуется уравнение изменения напряжения на конденсаторе со временем. Оно получается с использованием закона сохранения заряда на пластинах конденсатора и выглядит так:
, (2.26)где
– площадь сечения витка индуктора.Интегрирование в (2.26) осуществляется по площади сечения витка индуктора. Таким образом, полная система дифференциальных по времени и интегральных по пространству уравнений относительно плотности тока и напряжения на конденсаторе, описывающая электрические процессы в одновитковом индукторе и заготовке, выглядит следующим образом:
(2.27)Для решения системы (2.27) необходимо задать начальные условия–распределение плотности тока и напряжение на конденсаторной батарее в начальный момент времени:
2.3 Математическая модель электродинамических процессов в многовитковом индукторе
Для обобщения математической модели (2.27) на случай многовиткового индуктора необходимо учесть дополнительно закон сохранения заряда между витками. Интегральная форма приведена ниже
, (2.28)где
– номер витка индуктора, а 
– площадь витка с номером , S1 – площадь витка под номером один.Для учета закона сохранения заряда между витками был использован метод множителей Лагранжа, т.к. другие способы приводили к нарушению закона сохранения энергии. Функционал невязки для уравнения (2.27) с учетом дополнительных слагаемых имеет вид:
(2.29)где
-множители Лагранжа, а 
и 
-плотности тока в первом и n-м витках.