где a — реологическая постоянная трещиноватой среды, имеющая размерность, обратную размерности давления.
3.3 Границы применимости линейного закона фильтрации
Так же как и для гранулярных (пористых) сред, при больших скоростях фильтрации линейный закон фильтрации может нарушаться из-за появления значительных по величине сил инерции. Как показали исследования Г. М. Ломизе, для движения воды в щелях различного вида характерны числа Re, значительно превы шающие величины этого параметра для пористых сред: так, для щелей с гладкими стенками верхний предел применимости линейного закона оценивается числами Reкр = 600, а нижний —Reкр = 500).
Ф. И. Котяхов указывал, что для трещиноватых пород за счет изменения относительной шероховатости трещин и их различного раскрытия (от 71 мк до 12,96 мк в опытах Ф. И. Котяхова) нарушение линейного закона происходит при значенияхRe соответственно от 90 до 0,40. Исследования Е. С. Ромма подтвердили, что для щелей с гладкими стенками критическое число Рейнольдса равно 500. Им было также установлено, что если величина относительной шероховатости меньше 0,065, то ее роль в процессах фильтрации может не учитываться.
Параметр Re для трещиноватой среды можно ввести на основании следующих простых рассуждении.
Безразмерный параметр Re для щели любой формы определяется выражением:
где u — средняя скорость потока в м/сек; v — кинематическая вязкость в м/сек; R — гидравлический радиус (отношение площади «живого» сечения потока к «смоченному» периметру) в м. Для трещин прямоугольного сечения:
где а — ширина трещин.Приближенное выражение для R получено на основании того, что обычно d < а и величиной d в знаменателе по сравнению с а можно пренебречь. Заметим, что d — среднее раскрытие трещин в породе.
Таким образом,
и учитывая, что
то выражение для числа Рейнольдса в трещиноватой фильтрирующей среде может быть представлено в окончательной форме:
Отметим, что согласно сказанному, за нижнюю границу нарушения линейного закона фильтрации в трещиноватом пласте следует принять Rедр = 0,4. Понятно, что если линейный закон фильтрации не действителен для трещиноватых пластов, следует использовать нелинейные законы. Аналитически нелинейные законы выражаются в виде одночленных и двучленных формул. Одночленная формула предполагает следующую запись:
где п изменяется от 1 до 1,75 (по данным проф. Г. М. Ломизе). Значение постоянной Ст можно получить методами теории подобия. Аналогичными рассуждениями получаем, что:
где
На основании (2.19) уравнение (2.18) можно записать в виде:
гдеn = 1 — 1,75.
При n = 1,75 имеем турбулентный режим. Если линейный закон нарушается, используется двучленная формула, учитывающая возрастающую роль сил инерции в связи с увеличением скоростей движения жидкостей и газов:
где a, b — некоторые постоянные.
Б. Ф. Степочкиным на основе обработки обширного эксперимен тального материала (по результатам опытных данных и заимствован ного из различных литературных источников) для большого диапа зона размеров (от нескольких микрон до 75 мм) твердых частиц раз нообразной формы (слагающих продуктивные пласты) и интервала чисел Re от 10-6 до 103, получена двучленная формула:
где d — диаметр зерен, составляющих среду
4. Расчетная часть
Капиллярная пропитка при физико-химическом и тепловом заводнениях. Нефтеотдача трещиновато-пористых коллекторов.
Рассмотрим задачу, которая является естественным обобщением классической задачи о противоточной пропитке нефтенасыщенного образца пористой среды водой. Образец пористой среды, занимающий полупространство х>0 и первоначально заполненный нефтью и погребенной во дой (водонасыщенность Sо) при температуре То, приводится в контакт по плоскости х=0 ("торцу") с водным раствором химреагента концентрации с0, находящимся при температуре T. Под действием капиллярных сил в образце возникает одномерное течение, описываемое уравнениями:
Здесь уравнения движения записаны в предположении локального равновесия, так что
и т.д. Жидкости предполагаются несжимаемыми, так что с = const. При этом из условия ограниченности давления при х®¥ ("вдали от торца образца") следует, что суммарная скорость фильтрации двух фаз U=0. Иными словами, сколько воды впитывается в образец, столько же нефти вытесняется из него через торец — ситуация, характерная для противоточной капиллярной пропитки.Задача должна быть решена при условиях:
При этом особого комментария заслуживает величина s°- значение водонасыщенности в торцевом сечении образца. Это значение определяется условиями выхода нефти из образца. Действительно, вода вне образца и вода в той части образца, куда проникла пропитка, образуют единую связную фазу, и потому давление в ней при х =0 непрерывно:
Р = Ро . С другой стороны, вытесняемая нефть выходит в водную фазу в виде отдельных капель, поэтому давление у торца образца в нефтяной фазе выше на величину капиллярного давления, отвечающего радиусу выходящих капель r : р2 = ро + 2a/r . Поэтомумежфазный капилляр ный скачок давления вблизи торца образца
Отсюда легко заключить, что реально нефть выходит из самых крупных пор, а это означает, что насыщенность s° близка к критической s*, отвечающей обращению в нуль фазовой проницаемости для нефти. В дальнейшем поэтому предполагается
Учитывая условие U= О, имеем из уравнения
Обобщенная задача о противоточной капиллярной пропитке имеет автомодельное решение вида
удовлетворяющее системе обыкновенных дифференциальных уравнений
