Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі (стр. 2 из 4)

Рис. 4. Структурна схема системи автоматичного регулювання температури в печі.

Для знаходження передаточних функцій системи за каналами задаючої і збурюючої дії користуються правилами еквівалентних перетворень структурних схем. Спочатку, знаходять передаточну функцію розімкнутої системи. Так, як ланки ввімкнені послідовно, то передаточна функція розімкнутої системи знаходиться за формулою

/3.1/

де

- відповідно предаточні функції регулятора і об’єкта регулювання.

/3.2/

Передаточна функція замкнутої системи за каналом задаючої величини при одиничному зворотному звязку знаходиться через передаточну функцію розімкнутої системи за відомою формулою [3, c.58]

/3.3/

Передаточна функція системи за каналом збурення

/3.4/

де

- передаточна функція каналу збурення об’єкта.

Диференціальні рівняння руху системи знаходимо, виходячи із означення передаточної функції системи:

;

Диференціальне рівняння руху системи за каналом завдання-вихід матиме вигляд:

/3.5/

А відповідне рівняння статики:

/3.6/

З виразу /3.4/ знаходимо операторну форму диференційного рівняння, яке описує рух системи за каналом збурення-вихід:

Виконавши обернене перетворення Лапласа, одержимо:

/3.7/

Рівняння статики системи за каналом збурення:

/3.8/

5. Аналіз стійкості системи та визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора

При розробці і настроюванні систем автоматичного керування важливо встановити вплив окремих параметрів на їх стійкість. Для визначення областей допустимих значень параметрів можуть бути використані критерії стійкості та загальний метод D-розбиття.

Зокрема, критичне значення параметру (коефіцієнта передачі

чи постійної часу

) при якому система знаходиться на межі області стійкості можна визначити за критерієм Гурвіца. [2, c.131]

Запишемо характеристичне рівняння системи, передаточна функція якої /3.3/:

/4.1/

Складемо визначник Гурвіца для даного рівняння:

/4.2/

;

Головний визначник Гурвіца

>0 і його мінори

>0,

>0, тому система з даними параметрами стійка.

Визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора

Критичне значення коефіцієнта передачі підсилювача знайдемо, прийнявши його за невідомий у виразі /3.2/ та прирівнявши до нуля визначник Гурвіца:

;

/4.3/

Характеристичне рівняння замкнутої системи

/4.4/

Складемо мінор другого порядку визначника Гурвіца, оскільки він однозначно залежить від значення визначника Гурвіца (

/4.5/

При критичному коефіцієнті передачі

;

. /4.6/

Отже, при

система перебуватиме на межі стійкості.

6. Побудова годографа амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи і визначення запасу стійкості

Для побудови годографа АФЧХ спочатку запишемо передаточну функцію розімкнутої системи /3.2/:

/5.1/

Виконавши заміну p=jω, отримаємо:

Для побудови годографа в декартовій системі координат виділимо дійсну та уявну частини W (j) =P () +jQ ():

/5.2/

/5.3/

Таблиця значень для побудови годографа АФЧХ

, c^-1

P
)

Q (

0	5,5037	0
0,1	5,248644	-1,29846
0,2	4,574481	-2,34665
0,3	3,685451	-3,02149
0,4	2,774914	-3,34011
0,5	1,960136	-3,39168
0,6	1,286218	-3,2733
0,7	0,754786	-3,06124
0,8	0,348361	-2,80676
0,9	0,044273	-2,54125
1	-0,17907	-2,28258
1,2	-0,45337	-1,81802
1,4	-0,58089	-1,43841
1,8	-0,6254	-0,90382
2,3	-0,54614	-0,52005
3	-0,40957	-0,25451
4,5	-0,22063	-0,0629
10	-0,04472	0,009169
20	-0,00761	0,005457
50	-0,00036	0,000731
100	-2,6E-05	0,000106

Рис. 5. Годограф амплітудно-фазочастотної характеристики розімкнутої САР.

Запаси стійкості визначимо, виходячи з критерію стійкості Найквіста. [1, с.219] Для визначення запасу стійкості за амплітудою знайдемо частоту, яка відповідає точці перетину годографа АФЧХ з від'ємною дійсною піввіссю (з умови Q (

) =0):

/5.4/

Корені рівняння ω=0; 7.0929; - 7.0929.

Задовольняє умови лише корінь ω=7.0929.

Для даної частоти P (7.0929) =-0,0935.

Запас стійкості по амплітуді А_зап= 1-0,0935=0.9065. /5.5/

Для визначення запасу стійкості за фазою знайдемо критичну частоту ω_кр, при якій А (ω) =1:

;

Коренями рівняння є:

0 +22.0581j

0 - 22.0581j

0 +22.0295j

0 - 22.0295j

0.0000 + 2.6121j

0.0000 - 2.6121j

1.9187

0 + 1.6667j

0 - 1.6667j

0 + 0.5556j

0 - 0.5556j

Серед коренів даного рівняння нас задовольняє лише дійсний додатній корінь, тому ω_кр=1.9187.

P (ω_кр) =Р (1.9187) =-0,613;

Тоді запас стійкості по фазі становить

/5.6/

Рис.6. Графічна ілюстрація запасів стійкості.