Автоматичні рівноважні пристрої як безконтактні ущільнення (стр. 9 из 10)

.

Прогинання w визначається за формулою (30), а безрозмірне зусилля у першому наближенні без урахування конусності шпарини - за формулою (25). При цьому

Після переходу до безрозмірних змінних рівняння (41) залишиться незмінним, зміниться лише значення постійної

:

Використовуючи більш точніший вираз (24) для навантаження на диск та значення статичного кута повороту

, можна отримати додаткові малі поправки до постійних та . Таким чином, деформації стінок камери за своїм впливом на систему еквівалентні стисливості рідини.

Рівняння регулятора

Знайдемо тиск

з рівняння (40)

та підставимо його у рівняння (41). Одержимо

На підставі формули (25) при постійному впливі

та варіація врівноважуючої сили пов’язана з варіацією тиску простим співвідношенням . Таким чином, з точністю до постійного множника останнє рівняння є рівнянням регулятора, а його передавальна функція є динамічною жорсткістю врівноважуючого пристрою:

(43)

У сталому стані

тобто одержуємо статичну жорсткість. Якщо не враховувати інерцію рідини (Т3 = 0), то динамічна жорсткість виражається характерною для гідростатичних опор передавальною функцією інтегро-диференціальної ланки, аналогом якої є модель стандартного лінійного твердого тіла:

(44)

При стрибкоподібній зміні впливу

динамічна жорсткість визначається лише пружністю рідини у камері гідроп’яти:

тобто є жорсткістю умовно непроточної опори.

Рівняння системи

За передавальними функціями об’єкта регулювання (36) та регулятора (43) побудована структурна схема системи (рис .24) та виконані її еквівалентні перетворення.

Рисунок 24 - Структурна схема врівноваженого пристрою та її еквівалентне перетворення

У результаті одержана еквівалентна передаточна функція системи

(45)

та її рівняння

яке з урахуванням виразів (36) та (43) зводиться до вигляду

де особистий оператор системи та оператор впливу рівні:

(46)

(47)

Якщо враховувати інерцію рідини у торцевому зазорі, то власний оператор системи матиме п’ятий порядок.

Амплітудна частотна характеристика

Частотна передавальна функція системи

де з урахуванням операторів (46) після розділення дійсної і уявної частин

Амплітудна та фазова частотні характеристики системи виражаються формулами

Для прикладу побудовані амплітудні частотні характеристики (рис. 25), що відповідають реальному врівноважуючому пристрою з постійними часу:

. З графіків видно, що резонансні властивості системи проявляються лише в області високих частот причому зі збільшенням густини рідини Т3 та жорсткості віджимного пристрою власні частоти зростають.

Аналіз динамічної стійкості

Прирівнюючи до нуля власний оператор системи, одержимо характеристичне рівняння

,

для якого умови стійкості Гурвіца мають вигляд

(48)

Перша група умов

завжди виконується, оскільки Умова (48) з урахуванням значень коефіцієнтів (47) містить дев’ять незалежних параметрів та одержати зручний для практичного використовування зв’язок між ними не вдається. Чисельний аналіз 30 варіантів з різними поєднаннями параметрів показав, що стабілізуючий вплив на систему дають . Інерція ротора Т1, а також інерція Т3 і пружність Т4 рідини знижують стійкість.

Сила інерції рідини у циліндровому зазорі пропорційна квадрату частоти вимушених осьових коливань системи, основна складова яких має частоту обертання ротора. У зв’язку з цим при порівняно низьких частотах обертання можна для орієнтовних розрахунків взяти Т3=0, дещо компенсуючи помилку, що вводиться, припущенням, що Т2=0. У цьому випадку порядок системи зменшується

, а умова стійкості після підстановки коефіцієнтів з рівняння (47) наберає вигляду та зводиться до простого обмеження, що накладається на об’єм камери гідроп’яти:

Беручи до уваги, що

,

одержимо

З урахуванням формул (19) за умови

, у положенні статичної рівноваги

Виразимо об’єм через характерний осьовий розмір V=HS2. При цьому спрощена умова стійкості

(49)

З нього можна визначити допустимий об’єм камери, а потім перевірити, чи виконується умова (48). Перевірку потрібно робити для граничних значень сталого зазору

одержаних у статичному розрахунку.

Умова (49) якісно підтверджується експериментальними дослідженнями стійкості кільцевого упорного підшипника із зовнішнім наддуванням, де провідність живильних дроселів ототожнюється з провідністю g1 кільцевого дроселя перед розвантажувальним диском.

Коефіцієнт демпфірування c, що входить до постійної Т2, можна оцінити лише орієнтовно, враховуючи тільки демпфірування у торцевому зазорі [18]

(50)

де

- динамічний коефіцієнт в’язкості.

Дійсний коефіцієнт демпфірування більше розрахункового через турбулентну течію у зазорі, а також додаткових сил в’язкого опору, що діють на ротор в ущільненнях та підшипниках, що трохи збільшує запас стійкості. Обчислення демпфірувальних та інерційних сил у торцевому зазорі при турбулентній течії з урахуванням обертання диска та відхилень від плоскої форми - важлива та цікава задача, розв’язання якої дозволить одержати більш повні та точні динамічні характеристики гідростатичних пристроїв.