Автоматическое управление плотностью бумажной массы (стр. 3 из 4)

5.2 Проверка устойчивости критерием Михайлова

1 Формулировка критерия Михайлова: Чтобы характеристический полином не имел корней в правой полуплоскости необходимо и достаточно, чтобы полное приращение фазы

, при изменении частоты от 0 до было равно , где n – порядок систем .

2 Формулировка критерия Михайлова: Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞, годограф Михайлова должен последовательно проходить N – квадрантов и в N-том уходить в бесконечность.

3 Формулировка критерия Михайлова: Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно чередование нулей мнимой (сначала) и действительной части характеристического уравнения при изменении частоты

от 0 до .

Рассчитаем устойчивость нашей системы методом Михайлова :

Запишем характеристический полином системы:

.

Перейдем к комплексным переменным :

Выделим действительную и мнимую части:

Чтобы система была устойчива за Михайловым, нужно чтобы частоты росли а нули чередовались, т.е. было истинно следующее выражение :

Как видим из данной записи, наша система устойчива.

5.3 Предельный коэффициент усиления

Предельный коэффициент усиления системы – эт`о такой коэффициент усиления, при котором система находиться на границе устойчивости – т.е. переходной процесс, характеризующий систему, имеет вид колебательной кривой.

Характеристический полином:

D(s) =

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы

Из этого следует, что система устойчива при любых k.

6. Анализ качества системы

Под качеством САУ понимают показатели качества переходного процесса и ошибку в установившемся состоянии. К показателям качества переходного процесса относятся:

- время установления t_уст – это промежуток времени, за который переходной процесс впервые достигает установившегося значения;

- время регулирования t_п.п (переходного процесса) – время, за которое переходная характеристика становится и остается по абсолютной величине меньше наперед заданной величины перерегулирования s.

Рисунок 7.1 - График показателей качества

находим:

h_max=1,22; h_уст=0.907; t_уст=3,41; t_пп=13,6;

Вычислим перерегулирование:

.

7. Вычисление установившейся ошибки

Точность САУ определяется видом входного воздействия, параметрами и структурой системы. Ошибку системы в установившемся режиме можно вычислить, используя передаточную функцию по ошибке.

.

Передаточная функция по ошибке:

.

Коэффициенты ошибок:

8. Методы повышения точности

К числу общих методов повышения точности систем автоматического регулирования относятся:

1) увеличение коэффициента разомкнутой системы;

Рисунок 9.1 – Схема системы с увеличенным коефициентом усиления разомкнутой системы.

Рисунок 9.2 – Ошибка системы после использования 1го метода повышения точности

.

Передаточная функция по ошибке:

.

2) включение в систему изодромного звена;

Рисунок 9.3 – Схема системы с использованием изодромного звена.

Рисунок 9.4 – Ошибка системы после использования 2го метода повышения точности

Передаточная функция изодромного звена имеет вид:

.

Передаточная функция по ошибке:

.

3) ПИД регулятор:

Рисунок 9.5 – Схема системы с использования ПИД регулятора

Рисунок 9.6 – Ошибка системы после использования 3го метода повышения точности

9. Синтез САУ с применением последовательного корректирующего звена

Задача синтеза последовательного корректирующего устройства (ПКУ) заключается в следующем. Имеется исходная система автоматического управления, структура и параметры элементов которой известны. Требуется определить передаточную функцию ПКУ, включение, которого в систему обеспечит получение нужных показателей качества: величины перерегулирования, времени регулирования, ошибки в установившемся режиме.

Алгоритм синтеза последовательного КУ

1) построение ЛАХ исходной разомкнутой системы;

2) построение желаемой ЛАЧХ по заданным показателям качества (время регулирования, запас устойчивости по амплитуде и фазе, степень астатизма, коэффициенты ошибок, коэффициент усиления);

3) определение передаточной функции корректирующего устройства:

На основании приведенного алгоритма синтезируем корректирующее устройство для приведенной выше системы.

Построение исходной ЛАЧХ

1) на частоте

откладываем значение

L=20*lgK=20*lg10=20

2) определяем частоты сопряжения

:

,

3) через точку

, под наклоном 0 ДБ/декаду, так как в исходной системе нет астатизма (нет свободной s в знаменателе), проводим линию до пересечения с линией ;

4) так как выражение

стоит в знаменателе, то дальше кривая пойдет под наклоном –20ДБ/декаду до пересечения с линией ;

5) выражение

стоит в знаменателе, поэтому, начиная с частоты и до , кривая пойдет под наклоном –40ДБ/декаду.

Построение желаемой ЛАЧХ

Прежде, чем приступить к построению желаемой ЛАЧХ, необходимо задаться желаемыми показателями качества:

- перерегулирование

;

- время регулирования

;