Теории управления (стр. 15 из 22)

t

Тогда

, в этом случае (оценка) равна самим наблю-

дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-

лым оценкам.

Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и

динамическую ошибку.

Динамической ошибкой называется разница между оценкой

и

истинным значением

процесса.

- =динамическая ошибка.

Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.

При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

Невязка

входит в фильтр Калмана и выполняет роль

корректирующего члена, который в формуле (3)

учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.

Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке

плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,

которая взята с весом

. (Корректирующий член учитывает

наблюдения на шаге ‘n’) Вес

учитывает апприорную дина-

мику системы (модели).

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного

алгоритма только в том случае, если имеется модель

случайного процесса, который он фильтрует.

2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только

в том случае, если реальный процесс близок к модели,

которую мы используем.

Многомерный фильтр Калмана

(1)

, где - текущее время, -

- вектор (столбики)

A - матрица k´k, H - матрица m´k.

- вектор, - шум наблюдения

; - шум динамической системы.

Запишем (1) в скалярной форме. covx=Q, covh=P.

Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :

,

где

- вес, - невязка.

; где - единичная матрица

= Г ; Начальные условия задаются из аппри-

Г

; орных условий . - транспони-

рованная матрица (сопряженная).

Траекторные изменения

Часто требуется получить оценку траектории летательного

аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с

помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-

темой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-

теме координат :

Если известны точно все 9 коор-

Z динат (см.ниже), то можно точ-

л.а. но навести ракету. Для определе-

ния всех координат существуют

р X траекторные фильтры, которые

строятся на базе фильтра Калмана.

Y

Траекторный фильтр 2-го порядка

(1)

; a<1

Первые две строки (1) - это модель, последняя строка -

- наблюдение.

Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по мо-

дели (1) составим многомерную модель.

;

(2)

;

; ; H=[1,0]

Из формулы (2) имеем :

; ;

; ;

Траекторный фильтр 3-го порядка

(4)

, первые две строки - модель,

последняя строка - наблюдения

; ; ; ;

H = [1,0,0] ;

; ;

Теория нелинейной фильтрации

Здесь нелинейные модели записываются в виде :

(1)

; здесь : верхняя функция - нелиней-

ная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.

Функция

генерирует на любом интервале неко-

торый случайный процесс

. Это есть модель неко-

торого случайного процесса, более богатая, чем все преды-

дущие модели.

Уравнение наблюдений : наблюдается не сама

, а не-

которая функция j(

);наблюдения ведутся на фоне шумов

- шум нелинейной динамической системы (шум модели)

1) Требуется найти оценку

, такую, чтобы :

(2)

Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической

ошибки.

2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в

фильтре Калмана.

В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть