Анализ производственных функций (стр. 2 из 3)

Рассмотрим темп роста выпуска

Если возвести обе части уравнения в степень

, получим соотношение

в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов

При а₁+ а₂ > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы , а при а₁+ а₂ < 1 - медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. K_t+1>K_t, L_t+1>L_t) то согласно

растет и выпуск (т.е. X_t+1>X_t),следовательно, при а₁+ а₂ > 1

т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов . Таким образом, при а₁+ а₂ > 1 ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х₀=const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид :

или

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X₀, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х₀ = const, то

В этом соотношении

, поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL<0 что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.

Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из

.

Предельной нормой замены S_K труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда:

соответственно , предельная норма замены S_L фондов трудом

при этом S_k S_L=1

Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:

,

что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом

grad

, то уравнение изоклинали записывается в форме

В частности, для мультипликативной ПФ получаем,

поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением,

, которое имеет решение

,

где (L₀; К₀) - координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую

На рис. 1 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ.

При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и

рис. 1

интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов).

Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

те X₀, K₀L₀ — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма , указанная выше , легко приводится к первоначальному виду

Таким образом, коэффициент

получает естественную интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме

запишется так:

Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ . Напомним, что эффективность — это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частныхпоказателя эффективности:

-фондоотдача , - производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.

Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:

в котором роль весов выполняют относительные эластичности

т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.

Из

вытекает, что с помощью коэффициента экономической эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа:

k=Ek^a l^1-a

в соотношении с чем Е - не постоянный коэффициент, а функция от (К, L).

Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

M=k^al^1-a

В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:

Х=ЕМ.

Линейная производственная функция

X=F(K,L)=E_KK+E_LL

Где E_K и E_Lчастные эффективности ресурсов.

E_K =

-фондоотдача , E_L= - производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.

Эластичности замены труда фондами для линейной ПФ = ¥

эта величина показывает, на сколько процентов надо изменить фондовооруженность, чтобы добиться изменения нормы замены на 1%.

Производственная функция затраты-выпуск

X=F(K,L)=

Где:

Коэффициенты эластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K^0,539L^0,594