«На одной полке 3 книги, а на другой – 5 книг. Сколько всего книг на этих полках?»
Дети знают, что такие задачи решаются сложением.
На доске запись:
На 1 полке На 2 полке Всего
3 кн. 5 кн. (3 + 5) кн.
6 кн. 4 кн. (6+4) кн.
а кн. в кн. (а + в) кн.
Затем в задаче меняются числовые данные: «На одной полке 6 книг, а на другой - 4». Вопрос тот же, запись данных и решение проводится по той же таблице.
С целью закрепления знаний приобретенных при первом знакомстве с буквенными выражениями, выполняются упражнения, связанные с вычислением значений данного выражения при заданных значениях букв. Полезны и упражнения на заполнение таблиц, где компоненты действий обозначен буквами.
И еще один элемент алгебры, который дети изучают во втором классе – это уравнения.
При введении уравнений они решаются подбором используя знания состава чисел, табличных случаев сложения, вычитания умножения и деления. После решения нескольких примеров подбором учитель дает уравнение х + 28 = 40, предлагает прочесть: первое слагаемое неизвестно, второе – 28, сумма - 40, надо найти первое слагаемое. Дети говорят правило нахождения неизвестного слагаемого: чтобы найти первое слагаемое, надо из суммы 40 вычесть известное слагаемое – 28.
Вычисляем: 40 –28 = 12, т. е. х = 12.
Проверяем: 12 + 28 = 40, значит уравнение решено правильно. Запись на доске и в тетрадях:
х + 28 = 40 Проверка:
х = 40 - 28 12 + 28 = 40
х = 12 40 = 40.
Затем аналогично изучаются уравнения видов:
Х – 5 = 27 – нахождение неизвестного уменьшаемого;
32 – х = 8 – нахождение неизвестного вычитаемого;
14 · х = 28 – нахождение неизвестного множителя;
х : 6 = 12 – нахождение неизвестного делимого;
48 : х = 4 – нахождение неизвестного делителя.
Овладение понятием «уравнение» способствует и решение задач способом составления уравнения. Необходимым требованием для этого является умение составлять выражения по их условиям.
В третьем классе решаются задачи с помощью составления уравнения, в которых надо найти неизвестный компонент действия.
Для решения задачи с помощью уравнения обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное, записывают его. Полученное уравнение решают, используя знания, связи между компонентами и результатом действия. Затем дается ответ на вопрос задачи.
Так же с помощью уравнений решаются задачи на нахождение одной из сторон прямоугольника по известным площади и длине смежной стороны.
Задачи на составление уравнений решаются систематически – это хорошее упражнение на отработку понятия уравнения.
Кроме решения уравнений учащиеся в третьем классе продолжают работу над выражениями с переменной, а так же с изучением порядка действий.
Таким образом учащиеся проверяют знания свойств арифметических действий в таких упражнениях: при каких значениях букв верны следующие равенства: 36 · в = в; а · а = а; с + с = с; 10 · с = 10; 49 · а = 0; в · 0 = 0; 12 · а = а · 12; в + в = в.
В данном уравнении буквенная символика способствует повышению уровня обобщения знаний и готовит их к изучению алгебры.
И новым в вопросе о порядке действий в выражениях является изучение правила порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках несколько действий.
Таким образом можно сделать вывод о том, что изучение числовых выражений с переменной, числовых равенств и неравенств, уравнений продолжается на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.
§ 2. Различные трактовки введения понятий.
Задания творческого характера на уроках математики.
Учебные задания, выполняемые на уроках математики, часто определяют однообразие мыслительной деятельности учащихся, реализуя лишь обучающие цели – закрепление знаний, формирование умений и навыков. Это отрицательно сказывается на развитие учащихся и на дальнейшем усвоении учебного материала. В частности, имеются ввиду учебные задания на нахождение значений числовых выражений, то есть решение примеров из учебников.
Урок математики очень оживляют учебные задания творческого характера. Детям необходимо составить неравенство. На доске записана левая часть неравенства 72 : 6 и знак сравнения « > ». Подумайте, какое выражение надо записать в правой части неравенства, чтобы значение левого выражения было в четыре раза больше правого? 72 : 6 > 72 : - . Предлагается делитель 24.
- Подумаем, правильно ли выполнено задание. Попробуем рассуждать не вычисляя.
- Делитель в правом выражении шесть. Чтобы первое выражение в четыре раза больше по своему значению, чем второе, надо чтобы делитель во втором выражении был в четыре раза больше, чем шесть, то есть 24. Делитель в первом выражении меньше в четыре раза, значит, частное будет больше в четыре раза.
- Теперь проверим рассуждение вычислением.
В эту работу следует активно включать слабых учащихся. Затем дети самостоятельно составляют неравенства. При самостоятельном выполнении слабым учащимся предлагаются карточки с методической помощью:
72 : 2 > 72 : 6
72 : 3 > 72 : -
72 : 4 > - : -
72 : - > - : -
Главное, чтобы учитель осознавал психолого-пелогогическую основу учебных заданий – развитие учащихся.
Порядок действий.
Объяснение нового по таблице «порядок действий» помогает детям быстрее и более прочно усвоить этот новый для них материал. Таблица является как бы моделью темы.
- О чем задумался Незнайка и зачем к нему прилетели птички?
- Уставшие и голодные птички должны свить себе гнездышко. Незнайка задумался как помочь им. Ему на помощь пришли сами же птички: «Сначала давайте соберем зернышки, поклюем их, а потом, ставь сильными, полетим за веточками для гнездышка.»
- А как на таблице изображены зернышки и веточки? Какими знаками они обозначены? Незнайка запомнил порядок работы, который ему предложили птички, и решил попробовать выполнить примеры на порядок действий. Давайте поможем ему. Разбирают примеры: 30 – 2 · 4; 20 : 4 + 9.
Таким образом дети самостоятельно изучают тему, а учитель руководит их мыслительной деятельностью. На первом этапе, главное – научить разбираться в порядке действий.
На следующем этапе предлагаются примеры в три и четыре действия. Затем появляются примеры с использованием скобок и в помощь предлагается таблица:
1 - 2 +
- - + - = -
- - - - = - 1 +
Выполняй по очереди 2 –
Спеши на помощь
( - - - ) + - = -
- - ( - + - ) = -
Таблица образно напоминает, что в первую очередь надо выполнять действия в скобках.
Поиск и творчество.
Как добиться твердого усвоения правил порядка выполнения действий?
На доске записан пример: 96 – 28 : 4 + 36 · 2. Определить порядок действий только над действиями деления и умножения: 96 – 28 : 4 + 36 · 2. Выполняем их по порядку: 1) 28 : 4 = 7; 2) 36 · 2 = 72. Затем переписываем числовое выражение в упрощенном виде: 96 – 7 + 72. Снова обозначаем порядок действий: 96 – 7 + 72. Заканчиваем его решение: 3) 96 – 7= 89; 4) 89 + 72 = 161.
Для выработки твердых навыков, правильных и быстрых устных вычислений на каждом уроке выделяется 5 – 10 минут для проведения тренеровочных упражнений. Но чтобы не пропадал интерес к устному счету можно использовать игры.
На внутренней стороне доски вешаются кармашки с надписью «Устно», «Работай сам».
В первый кармашек кладутся карточки на которых записаны примеры для устного счета, в другой кармашек – примеры для самостоятельной работы на уроке.
Детям очень нравится игра «В полет на воздушном шаре». Изображается воздушный шар, в нем герои из детских книг. Внизу прикреплен почтовый ящик – кармашек с прорезью. На уроке за отличный ответ ученик получает билет – карточку на обратной стороне которой пишет свою фамилию и на перемене опускает в почтовый ящик. Полет может длиться несколько дней, а когда будет окончен, учитель вместе с учащимися вскрывает почтовый ящик, подводит итоги и объявляет победителя. В качестве поощрения победитель может составить создания для устного счета и даже проводить его.
Ошибки в порядке выполнения арифметических действий и пути их предупреждения.
Для выявления характера ошибок учащихся в определении порядка выполнения действий в выражениях в конце третьей и начале четвертой четверти, когда материал уже хорошо изучен, можно провести самостоятельные работы. Выражения составляются так, чтобы вычисления в них можно было производить как в правильном порядке, так и не в правильном: 60 : 6 · 2 ( правильный); 64 : 16 : 2 (неправильный).
На правильность применения правил порядка выполнения действий значительное влияние оказывает структура выражений и числовой материал.
В структуре выражений играет набор, количество и расположение действий в выражениях, наличие в них скобок. Ошибки состоят в том, что учащиеся выполняют сложение раньше деления, не обращая внимания на порядок записи.
Дети помнят начало формулировки, в которой сложение названо раньше вычитания, а умножение раньше деления, и не обращает внимания на конец правила, подчеркивающий, что эти действия надо выполнять в порядке их записи. Другая причина этих ошибок – ориентировка учащихся не на правило, а на возможность выполнения действий – делают то, что делается.
Так же большую роль играет количество действий. Если учащиеся умеют применять правило порядка выполнения действий в выражениях в два действия, нельзя утверждать, что они могут применить его столь же успешно в выражениях в три – четыре действия. Особенно ярко это проявляется в выражениях со скобками.
Теперь рассмотрим влияние числового материала. Вполне понятно, что если числа в выражении не позволяют производить вычисления в неверной последовательности, то ошибки встречаются редко. Если числовой материал позволяет в одном и том же выражении использовать разный порядок выполнения действий, то в работах встречаются все возможные варианты.