Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.
Также составные высказывания можно получить при помощи слов «если…, то…». Например: «Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен». Высказывания имеет форму «Если А, то В» и называется импликацией высказываний А и В (от латинского слова implicatiomecho связывают). Импликацию высказываний А и В записывают так: А Þ В и читают «Если А, то В». Высказывание А называют условие импликации, а высказывание В - ее заключением.
Считают, что импликация А Þ В истинна во всех случаях, кроме случая, когда А истинно, а В ложно.
Но существует еще и импликация обратная данной. Переставив местами импликацию двух высказываний А Þ В получим В Þ А. Ее называют импликацией, обратной импликации А Þ В. Например, если дана импликация «Если вам больше 14 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова: «Если вы имеете паспорт, то вам больше 14».
Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций А Þ В и В Þ А, то есть высказывание вида (А Þ В) ۸ (В Þ А). Это высказывание истинно только тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания данного вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А Û В. Запись читают: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда, когда В; в) А, если и только, если В.
Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.
Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ۸ , потому что ложно высказывание «2 = 3».
Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.
| А | В | А ۸ В | А ۷ В | Ā | А Þ В | В Þ А | (А Þ В) ۸ (В Þ А) |
| И | И | И | И | ۸ | И | И | И |
| И | ۸ | ۸ | И | ۸ | И | ۸ | |
| ۸ | И | ۸ | И | И | И | ۸ | ۸ |
| ۸ | ۸ | ۸ | ۸ | И | И | И |
В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти предложения в высказывания (истинные или ложные).
Предложения такого вида называния высказывательными формами или предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется одноместной, а две двух местной.
И так, высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных.
Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве действительных чисел, буде промежуток (5;∞).
Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда согласно определению, всегда Т Ì Х.
Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные. Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.
Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат А(х) Þ В(х), х Î Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А(х) Þ В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует из предиката А(х).
Вообще если на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х) и известно, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х), а А(х) – достаточным условием для предиката В(х). Очень часто слова «необходимое условие» заменяют словами «только тогда», «только в том случае».
Мы выяснили, что при подстановки значений переменных в предикат, получаем истинное или ложное высказывание. Но это превращение можно осуществить и другим образом.
Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит предложение «всякое число х кратно 5» (х Î N ) – высказывание, причем ложное.
Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х и обозначается символом " х.
Высказывание «существует х такое, что …» в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом $ х.
Наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».
Используя слово «некоторый» в обычной речи имеют в виду «по меньшой мере один, но не все», в математике же слово «некоторые» обозначает «по меньшей мере один, но может быть, и все». И так, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать кванторм общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные. Например, ( " х)( $ у) х > у или ( $ х)( $ у) х > у.
Одна важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру.
Часто в высказываниях квантор опускается; например, переместительный закон сложения чисел записывают в виде равенства а + в = в + а, которое означает, что для любых чисел а и в справедливо равенство а + в = в + а, то есть переместительный закон сложения есть высказывание с квантором общности.
Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Что бы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно привести контр пример.
Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедится в ложности такого высказывания, необходимо привести доказательство.
Понятия: высказывания, предиката и операции над ними позволяют выяснить логическую структуру многих утверждений. Этому способствует и использование при их записи символов, применяемых в логике.
При изучение математики часто приходится рассматривать предложения, называемые теоремами. Каким бы ни было содержание теоремы, она всегда представляет собой высказывание, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
Итак, теорема - это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В. Истинность этого высказывания устанавливается путем доказательства.
С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А Þ В, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением.
Теоремы из А Þ В и В Þ А называются обратными друг другу, а теоремы А Þ В и Ā Þ В называются противоположными друг другу.
Теорему В Þ Ā называют обратной противоположной. Установлено, что теорема А Þ В и B Þ А равносильны, то есть всегда когда истинна теорема А Þ В, будет истинна и теорема В Þ А, и наоборот А Þ В равносильно B Þ А. Полученную равносильность называют законом контр позиции.
В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами.
Для того, чтобы теоремой было удобнее пользоваться на практике, ее формулируют в виде правила и записывают только формулу, опуская все условия, указанные в теореме. Такие упрощения позволяют быстрее запоминать правила и формулы.
§ 3. Анализ учебника по математике 2-го класса М. И. Моро.
Изучение числовых выражений во втором классе начинается со страницы 9. Здесь дети знакомятся с понятием числовые выражения. И для закрепления этой темы в учебнике предложены следующие упражнения:
1. Прочитай выражения и найди их значения 90 – 4; 38 + 20.
Данное упражнение развивает вычислительные навыки у детей, умение правильно читать выражения.
2. Запиши выражения и найди их значения:
а) Сумма чисел 2 и 9; 5 и 6.
б) Разность чисел 16 и 7; 14 и 6.
Задание формирует умение записывать числовые выражения и развивает вычислительные навыки.
3. Сравни выражения 45 – 10 * 45 – 8; 18 + 40 * 18 + 30.
При выполнение данного упражнения у детей развивается логическое мышление.
4. Сумма каких однозначных чисел равна 15, 16, 17?
Данное упражнение развивает логическое мышление, вычислительные навыки, активизирует мыслительную деятельность.
5. Слагаемые 18 и 80. Найди сумму.
При решении данного задания закрепляются знания таких компонентов как слагаемые и сумма, умение пользоваться ими.
6. Представь число 8 в виде суммы одинаковых слагаемых.
Развивает логическое мышление учащихся.
7. Составь задачи по выражениям: 2 · 4; 12 : 3.
Развивает логическое мышление.
В учебнике много заданий данных типов, они отрабатывают вычислительные навыки учащихся, помогают осознать понятие «числовые выражения», но они не содержат элементов занимательности. А так же, очень мало упражнений направленных на развитие логического мышления. Поэтому необходимо использовать дополнительные задания развивающего характера. Это могут быть следующие задания: