Разработка модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе (стр. 16 из 21)
2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля.
1. Какие прямые называются параллельными, скрещивающимися? Покажите на параллелепипеде ребра, параллельные и скрещивающиеся с ребром АВ.
2. Какими способами может быть задана плоскость?
3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
4. Назовите случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. На модели параллелепипеда, призмы и пирамиды укажите пары параллельных и скрещивающихся ребер, ответ обоснуйте.
2. Какие две прямые в пространстве не являются параллельными? Почему?
3. Верно ли, что 2 прямые, лежащие в разных плоскостях скрещиваются?
4. Три вершины параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и четвертая вершина принадлежит той же плоскости? Почему?
4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Прямая с пересекает параллельные прямые а и в. докажите, что прямые а, в и с лежат в одной плоскости.
2. Пусть а и b пересекающиеся прямые, с- параллельна b. Что можно сказать о взаимном расположении плоскостей, определяемых прямыми а и b, b и с?
3. Пусть а и b-скрещивающиеся прямые. Известно, что прямая а лежит в плоскости a. Известно, что прямая а лежит в плоскости a. Определите может ли прямая в:
А) лежать в плоскости a;
Б) быть параллельной плоскости a;
В) пересекать плоскость a.
Ответ подтвердите чертежами.
5. Выполните контрольные задания
 |
Основной уровень: 1. Пусть а и b- скрещивающиеся прямые. Прямые А1В1 и А2В2 пересекают прямые а и b. Могут ли прямые А1В1 и А2В2 быть пересекающимися или параллельными (рис.5)?
2. Седьмое свойство стереометрии в "Началах" Евклида формулируется так: "Если будут две параллельные прямые и на каждой из них взято по произвольной точке, то соединяющая эти точки прямая будет в одной и той же плоскости с параллельными." Докажите.
Повышенный уровень. В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости?
6. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости (схема II)
 |
Доказательство: пусть плоскость α проходит через прямую а, параллельнуюплоскости β, и прямая b является линией пересечения этих плоскостей. Докажем, что прямые а и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости α. Кроме этого, прямая b лежит в плоскости β, β, а прямая а не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая а и подавно не пересекается с прямой b. Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны.
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости
 |
Доказательство: пусть прямая а не лежит в плоскости β и úú прямой b, лежащей в этой плоскости (рис.7). Докажем, что прямая а úú плоскости β. Предпо-ложим противное, т.е. что прямая а пересекает плоскость β в некоторой точке С. Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямые а и b (а и b параллельны по условию). Точка С принадлежит как плоскости β, так и плоскости α, т.е. принадлежит линии их пересечения - прямой b. Следовательно, прямые а и b пересекаются, что противоречит условию. Таким образом, a и β параллельны.
7. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение прямой параллельной плоскости.
2. Какие случаи взаимного расположения прямой и плоскости вы знаете?
3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости,
4. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.
8. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. Докажите признак параллельности двух прямых другим способом, который называется доказательством от противного и заключается в следующем: предположив, что утверждение не выполняется, приходят к противоречию.
2. Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?
3. Верно ли утверждение: “2 прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не лежат в одной плоскости?" Нет ли в нем лишних условий?
4. Верно ли утверждение: “Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости”?
5. Используя признак параллельности прямых и плоскости, в кубе и октаэдре укажите параллельные ребра и грани.
9. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Дан параллелограмм ABCD. Через сторону АВ проведена плоскость α, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что CD úú α..
2. Используя признак параллельности прямой и плоскости, в правильной 6-тиугольной призме ABCDEFA1В1С1D1Е1F1 укажите параллельные ребра и грани.
3. Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 прямая АВ параллельна DD1C1C.
4. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит прямая, параллельная этой плоскости. Сколько таких прямых?
10. Выполните контрольные задания
Основной уровень.1. Докажите, что если 2 прямые параллельны, то через одну из них проходит плоскость, параллельная другой. Сколько таких плоскостей? 2. Докажите, что если прямая параллельная плоскости, пересекает данную плоскость, то она также пересекает и эту плоскость.
Повышенный уровень. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.
11. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Две плоскости в пространстве называется параллельными, если они не пересекаются.
Случаи взаимного расположения двух плоскостей (схема III)
СХЕМА IIIТеорема. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
 |
Доказательство. Пусть плоскость g пересекает параллельные плоскости l и b по прямой а и b соответственно (рис.18). Докажем, то прямая а и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости g. Кроме этого, они лежат в непересекающихся плоскостях, отсюда следует, что и подавно не пересекаются. Значит, они параллельны.
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство (чертеж выполните самостоятельно). Пусть пересекающиеся прямые а1, а2 плоскости a соответственно параллельны прямым b1, b2 плоскости b. Покажем, что плоскости l и b параллельны. Предположим противное, т.е. что плоскости l и b пересекаются, и пусть с- линия их пересечения. По признаку параллельности прямых и плоскости прямой а1úú плоскости b, а по свойству параллельности прямой и плоскости она параллельна прямой с. Аналогично прямая а2 также параллельна прямой с. Таким образом, в плоскости a мы имеем две пересекающиеся прямые, параллельные одной прямой, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение о том, что плоскости a и b пересекаются, и, отсюда следует, что они параллельны.
12. Проверьте усвоение теории материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение двух параллельных плоскостей в пространстве.
2. Какие случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве вы знаете?
3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
4. Сформулируйте теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
13. Примите участие в учебной беседе. Материалы для беседы:
1. Докажите терему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей методом от противного.