Изучение темы Треугольники в курсе геометрии 7-9 классов средней школы (стр. 1 из 5)

Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника. Поэтому очень важно представлять себе методику изложения этой темы в различных учебных пособиях для правильного построения курса и избежания методических ошибок.

Данная работа проведена с целью, проследить методику изложения темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 класса средней школы, а также подготовить конспекты итоговых уроков по данной теме.

Анализ проводится по 4 основным учебникам, наиболее часто встречаемым в школьной практике. Это учебники А.В. Погорелова Геометрия 7-11 (8 издание), Л.С. Атанасяна, Б.Ф. Бутузова и др. Геометрия 7-9, А.П. Киселёва Геометрия 7-9, И.Ф. Шарыгина Геометрия 7-9.

Цель:

Проанализировать подходы и особенности изложения данной темы.

Проследить соответствие материала учебников содержанию обучения, принятого министерством образования Р.Ф.

Выявить достоинства и недостатки изложения этой темы.

Разработать 4 конспекта уроков итогового повторения.

§ 1 Анализ школьных учебников по теме: "Треугольники" в 7-9 классе

п. 1 Содержание и порядок изложения материала

Л.С. Атанасян и др.Геометрия 7-9	А.В. ПогореловГеометрия 7-11	А.П. КиселёвГеометрия 7-9	И.Ф. ШарыгинГеометрия 7-9
Начальныегеометрические сведенияТреугольникиПараллельные прямыеСоотношения между сторонами и угламиЧетырёхугольникиПлощадьПодобные треугольникиОкружностьВекторы	Основные свойства простейших геометрических фигурСмежные и вертикальныеуглыПризнаки равенства треугольниковСумма углов треугольникаГеометрические построенияЧетырёхугольникиТеорема ПифагораДекартовы координаты на плоскостиДвижениеВекторыПодобие фигурРешение треугольниковМногоугольникиПлощади фигур	Прямая линияУглыМатематические предложенияТреугольникиОсновные задачина построениеПараллельные прямыеПараллелограммыи трапецииОкружностьПодобные фигурыПонятие об измерении величинПодобие треугольниковПодобие многоугольниковПодобие фигур произвольного видаНекоторые теоремы о пропорциональных отрезковМетрические соотношения между элементами треугольникаПропорциональные линии в кругетригонометрические функции острого угла	Первые понятия геометрииОсновные свойства плоскостиТреугольник и окружность. Начальные сведенияВиды геометри-ческих задач и методы их решенияПараллельные прямые и углыПодобиеМетрические соотношения в треугольнике и окружностиЗадачи и теоремы геометрии

Содержание рассмотренных выше учебников соответствует содержанию образования и даже по некоторым вопросам превосходит её.

п. 2 Сравнительный анализ учебников по данной теме

п. п. 1 Определение треугольника

Существуют два подхода к определению треугольника:

1 подход. Понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки. Такой подход реализован в учебнике Атанасяна и в учебнике Погорелова. При этом ничего не говорится о плоскости треугольника. Это делается с целью отступления от теоретико-множественной концепции и от определения равных геометрических фигур с помощью отображений, сохраняющих расстояния (перемещений и движений). Но и здесь есть существенные различия.

В книге Погорелова даётся следующее определение треугольника: "Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки". Смысл выражения "отрезок соединяет точки" нигде не объяснён. Хотя об этом и легко догадаться; но смысл слова "попарно" совсем не очевиден для семиклассника. Кроме того, определение существенно зависит от обозначений, чего явно в формулировке не указано. В целом, формулировка воспринимается как тяжеловесная и трудная для понимания. У Атанасяна определение чисто конструктивное, оно наглядно и легче воспринимается школьниками.

2 подход. Понятие треугольника даётся как частный случай многоугольника, но в этом понятии говорится не только о фигуре образованной замкнутой линией, но и о части плоскости ограниченной этой замкнутой линией. Этот подход реализован в учебниках Киселёва и Шарыгина. Здесь определение треугольника отдельно не рассматривается. Впоследствии Атанасян и Погорелов всё же обращаются ко второму подходу в теме "Многоугольники" т.к это понятие им потребуется для определения понятия площади.

Определение равенства треугольников во всех четырёх учебниках даётся через совмещение равных фигур путём наложения. Но в учебниках со вторым подходом подразумевается, что и плоскости треугольников также совмещаются наложением.

п. п. 2 Равнобедренный треугольник

Определение равнобедренного и равностороннего треугольника одинаковое во всех учебниках. Такое определение является общепринятым в математике.

В учебниках Киселёва и Шарыгина свойства равнобедренного треугольника рассматриваются в одной теореме. Доказательства проводятся аналогично, с использованием осевой симметрии относительно биссектрисы треугольника и определения равных треугольников. В силу того, что ни Атанасян, ни Погорелов не используют движения плоскости в 7 классе, основой для доказательства свойств равнобедренных треугольников являются признаки равенства треугольников.

Атанасян в доказательстве свойств равнобедренного треугольника пользуется первым признаком равенства треугольников. В книге Погорелова свойства равнобедренного треугольника доказываются с использованием определения треугольника как упорядоченной тройки точек, но ни где не поясняется, что ΔCAB и ΔCBA это разные треугольники, а не один и тот же по-разному обозначенный. Такое доказательство учениками 7 класса понимается довольно трудно. Автор, уклонившись от явной формулировки определения треугольника как ориентированного пути, ставит ученика лицом к лицу с рассуждениями, которые может понять только тот, кто совершенно чётко представляет себе треугольник как ориентированный путь (это хоть и не явное, но обращение к теоретико-множественному подходу, который так тщательно избегается). Поэтому такие доказательства воспринимаются учениками как цирковой фокус.

Признаки равнобедренного треугольника в учебнике Атанасяна не рассматриваются, хотя эти теоремы очень полезные. В учебнике Погорелова приводится один признак (через равенство углов при основании). Полностью все признаки рассмотрены только у Шарыгина.

п. п. 3 Признаки равенства треугольников

Во всех четырёх учебниках применяется один и тот же подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному. Но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Погорелова эта аксиома формулируется, но непосредственно при доказательстве на неё ссылки не делаются. Лишь после доказательства первого признака равенства треугольников проводится подробный разбор его с указанием используемых в доказательстве аксиом. Это введено с целью, сделать доказательство более строгим, чем, например доказательство, приведённое у Киселёва. Как нам кажется, именно для этого автор вводит такое нетрадиционное определение треугольника.

Доказательства, приведённые в учебниках Атанасяна и Киселёва аналогичны. Но в учебнике Киселёва, исходя из введенного им определения треугольника, следовало бы ещё доказать, что плоскости треугольников так же совпадут при наложении (о чём в доказательствах даже не упомянуто). В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии (вместе с тем, в приложении в конце учебника подробно изложен вопрос о системе аксиом в курсе геометрии). По нашему мнению, большое преимущество по сравнению с учебным пособием Киселёва, имеет использование в учебнике Атанасяна в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем. Эти доказательства строятся по схеме: поиск равных треугольников → доказательство предполагаемого равенства → обоснование новых утверждений. Благодаря использованию признаков равенства треугольников легче усваиваются основные теоремы планиметрии (свойства и признаки серединного перпендикуляра, свойства равнобедренного треугольника, теорема о внешнем угле треугольника, свойства и признаки параллельных прямых и параллелограмма, теорема Фалеса, признаки подобия треугольников и т.п.). В учебнике Атанасяна первый признак рассматривается в отрыве от двух других. Это обосновано тем, что он является основой для доказательства свойств равнобедренного треугольника, облегчающих доказательство третьего признака равенства треугольников.