Изучение темы Треугольники в курсе геометрии 7-9 классов средней школы (стр. 2 из 5)
Лишь в учебниках Киселёва и Шарыгина все три признака изучаются последовательно т.к. там не требуется разбивать их для доказательства свойств равнобедренных треугольников.
В учебнике Шарыгина кроме наложения используются ещё и симметрия, что усложняет доказательства. Доказательство третьего признака проводится с использованием элементов построения. Кроме того, применяется движение называемое переносом, но нигде не указано как оно осуществляется и действительно ли переводит одну точку в другую. Кроме трёх традиционных признаков равенства треугольников приводится ещё один для тупого угла и двух не образующих его сторон. Доказательство вытекает из задачи о не существовании треугольника равного данному, если равны две стороны и не содержащийся между ними угол.
п. п. 4 Признаки подобия треугольников
Определение подобных треугольников даётся как треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Атанасян вводит понятие пропорциональных сходственных сторон. Аналогичное определение приведено в учебнике Киселёва. В учебнике Шарыгина понятие аналогично определению, приведённому у Погорелова, но оно ни как не связано с обозначениями.
Доказательство признаков подобия треугольников в учебнике геометрии А.В. Погорелова основывается на свойствах гомотетии, вывод которых использует формулу расстояния между точками на координатной плоскости и тем самым теорему Пифагора. А теорема Пифагора, в свою очередь, доказывается на основе тригонометрических функций угла, корректность определений которых проверяется с помощью обобщённой теоремы Фалеса, утверждающей, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки. Ясно, что теорема Фалеса является частью признаков подобия, здесь наблюдается нежелательный в методическом отношении отход от поступательного развития курса. Кроме того, при доказательстве теоремы Фалеса процесс измерения отрезков, и в случае, когда отрезки не соизмеримы, осознавание процесса их измерения происходит у учащихся со значительными трудностями. Этот материал занимает время всего курса геометрии в 8 классе. Теорема Фалеса рассматривается в самом начале 8 класса, а признаки подобия в самом конце 8 класса. В этом плане предпочтительнее расположение материала в учебном пособии Киселёва. Но и у него доказательство признаков подобия основано на такой лемме: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. При доказательстве этой леммы рассматриваются отдельно случаи, когда отношение сторон треугольников является либо рациональным, либо иррациональным числом, доказательство усложняется также использованием общей меры и аксиом. А у Атанасяна площади фигур, в отличие от трёх других учебников, рассматриваются раньше, и поэтому удаётся обойти указанную трудность. Фактически она преодолевается один раз при доказательстве свойств пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. В этом и состоит одно из преимуществ раннего введения понятия площади.
Как уже видно метод доказательства признаков подобия треугольников в учебнике Атанасяна является существенно другим. Так доказательство первого признака подобия треугольников в этом учебнике основывается на теореме об отношении площадей треугольников, утверждающей, что если в треугольниках ABC и A1B1C1 углы А и А1 равны, то
. Эта теорема не является традиционной для школьного курса и скорее всего носит вспомогательный характер. С другой стороны на основе этой теоремы весьма просто доказывается, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По сути дела всё доказательство в одну строчку. Эта же теорема позволяет дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В то же время её удалённость от места применения накладывает определённые трудности на усвоение учащимися доказательства признаков подобия треугольников. Здесь лучше модифицировать её, с тем, чтобы её можно было применить непосредственно в теме "Признаки подобия треугольников". У Погорелова такой теоремы нет, что делает невозможным решение его методами задач такого плана:Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, их соответствующие стороны относятся как 6: 5. Площадь Δ АВС больше площади Δ А1В1С1 на 77 см2. Найдите площади треугольников.
В учебнике Шарыгина доказывается терема о пропорциональных отрезках и свойства параллельных прямых. Все три признака подобия формулируются друг за другом, и для всех приводится одно доказательство с некоторыми пояснениями для каждого из признаков. Применяются дополнительные построения для каждого, а дальше используется предыдущая теорема с некоторыми вариациями и признаки равенства треугольников.
Об отношении площадей подобных фигур так же ничего не говорится.
§ 2 Конспекты итоговых уроков по теме "Треугольники" для 7-9 классов
п. 1 Обобщающий урок по теме "Признаки равенства треугольников"
(По учебнику Погорелова А.В. Геометрия 7-11)
Цель:
повторить и систематизировать знания учащихся по данной теме;
применить полученные знания для решения задач связанных с треугольниками;
осуществить проверку полученных знаний.
План урока:
Организационный момент (2-3 мин).
Актуализация знаний (3-8 мин).
Тестирование (8-10 мин).
Групповая работа (10-15 мин).
Математический диктант (3-4 мин).
Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания (2 мин).
Организационный момент. Формулируется тема урока. Цели урока сообщаются заранее. Класс настраивается на работу и получение хороших оценок.
Повторение признаков равенства треугольн6иков. Трое учеников доказывают признаки на доске, а трое других производят контроль и формулируют признаки.
Тест на знание признаков равенства треугольников. Каждый из учащихся получает листочек с изображением 10 пар треугольников (см. приложение лист 1), на которых отмечены соответствующие равные элементы. Предлагается отыскать пары треугольников, о равенстве которых можно утверждать, опираясь на один из признаков. Выдаются маленькие листочки, на них в строчку по порядку записываются: в случае положительного ответа - номер соответствующего признака, в случае отрицательного - ставится ноль. В результате должен получится код из 10 цифр состоящий из 0,1,2 и 3 (1020103002). Совпадение ответа ученика и цифры кода отмечается знаком "+" (код заранее выписывается на доску). Сразу же подсчитывается количество заработанных баллов.
Работа тут же оценивается: 10-8 совпадений - "5";
7-6 совпадений - "4";
5-3 совпадений - "3".
После урока листочки сдаются на проверку.
Групповая работа. Работают в группе по 4 человека. Разбирают задачи (см. приложение лист 2). Каждый берёт на себя по одной задаче на объяснение. Учитель по выбору может спросить любого из группы или всех (всего 4 варианта). Остальные внимательно слушают, дополняют, исправляют. Внимание должно быть постоянно т.к на любом этапе объяснения задачу можно передать ученику в другой группе.
Математический диктант. Математический диктант позволяет за короткое время проверить глубину знаний учащихся, выставить оценки, проанализировать ошибки. Диктант проводится на месте под копирку: один экземпляр ученику сдают учителю для проверки, другую оставляют себе. Отвечать на вопросы нужно "да" или "нет".
Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго треугольника? [Нет].
Верно ли, что каждому углу одного треугольника найдётся угол, равный ему во втором равном треугольнике? [Да].
Верно ли, что если сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны? [Да].
Верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны? [Нет].
Верно ли, что две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны? [Нет].
Верно ли, что медианы в равных треугольниках, проведённые к равным сторонам равны? [Да].
Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.
Учащимся сообщают результаты их работы, поощряют лучшие ответы. Урок считается успешным, если оставляет у учащихся чувство удовлетворения собой, если их знания становятся систематизированными, а действия осознанными.
Методические рекомендации:
В случае не имения в наличии копирки математический диктант ученики проверяют друг у друга карандашом, выставляют оценки, а затем эти листочки сдаются на проверку учителю