Методика обучения решению комбинаторных задач (стр. 4 из 15)
1. Примеры комбинаторных задач.
2. Перестановки.
3. Размещения.
4. Сочетания.
Последний параграф пособия «Начальные сведения из теории вероятностей» включает в себя два пункта:
1. Вероятность случайного события.
2. Сложение и умножение вероятностей.
Как указывают авторы в методическом комментарии к пособию, в пункте «Вероятность случайного события» вводятся начальные понятия теории вероятностей, формируется представление о случайных, достоверных и невозможных событиях, приведены статистическое и классическое определение вероятности. При вычислении вероятностей используются формулы комбинаторики.
Авторы пособия использовали тот же подход к введению базовых понятий теории вероятностей, который реализован в УМК под редакцией Г.В. Дорофеева: школьникам показывают, что понимать под словом «вероятность» и как оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне – по результатам простейших экспериментов, а позднее происходит количественный подсчет вероятностей. Однако, при реализации этого подхода авторы пособия, будучи жестко ограниченными выделенным на изучение временем и, как следствие, малым объемом пособия, проявили определенную непоследовательность – не смогли избежать некоторых противоречий и не дали четкого понятия о вероятности случайного события и способах ее нахождения в различных частных случаях. Пункт «Вероятность случайного события» начинается с рассмотрения эксперимента и его результата.
В последнем пункте пособия «Сложение и умножение вероятностей» рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей и связанные с ними понятиями. Авторы вводят понятие несовместных событий и рассматривают случаи наступления одного из двух несовместных событий, не вводя понятия «сумма случайных событий». Далее разъясняется понятие «противоположные события» и формулируется утверждение о сумме вероятностей противоположных событий.
В заключении авторы формулируют утверждение о вероятности события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий. При этом не вводится понятие «произведение случайных событий», не вводится и понятие условной вероятности.
В заключении отметим, что пособие содержит большое количество интересных, хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности, к большинству из которых даны ответы и указания по решению. К сожалению, в ответах много опечаток, есть неточности и ошибки (подробное рассмотрение ошибок имеется в статье В.Н. Студенецкой, О.М. Фадеевой «Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы»).
Материал пункта 1 является подготовительным к пунктам 2-4. в нем рассматриваются примеры комбинаторных задач, при решении которых требуется непосредственно составлять те или иные комбинации и лишь после этого подсчитывать число возможных вариантов. Этот этап очень важный. В процессе составления различных комбинаций учащиеся начинают понимать структуру той или иной комбинации, а также усваивают способы рассуждений и подсчета вариантов. Здесь же разъясняется и формулируется комбинаторно правило умножения, которое неоднократно используется при изучении последующего материала.
Для того чтобы разъяснить учащимся смысл этого правила, рассматривается такая задача: «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?».
При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.
| Первая цифра | 1    | 3    | 5   | 7   | ||||||||||||||||||||
| Вторая цифра | 3 | 5 | 7 | 1 | 5 | 7 | 1 | 3 | 7 | 1 | 3 | 5 | ||||||||||||
| Третья цифра |  5 |  7 |  3 |  7 |  3 |  5 |  5 |  7 |  1 | 7 | 1 | 5 |  3 |  7 | 1 |  7 | 1 | 3 | 3 | 5 | 1 | 5 | 1 |  3 |
Далее делается важное замечание, что ответ на поставленный вопрос в задаче можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.
После этого формулируется комбинаторное правило умножения: «Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk».
Применение правила умножения иллюстрируется на следующем примере:
«Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.
Упражнения в данном пункте направлены на составление различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций.
В конце пункта 4 помещены задания смешанного типа, в которых рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).
Дополнительные упражнения к §3 «Элементы комбинаторики» включают усложненные задания. Они могут быть использованы в работе с учащимися, проявляющими интерес и склонности к математике.
В 2004 году издательством «Дрофа» было выпущено пособие Е.А. Бунимовича, В.А. Булычева «Основы статистики и вероятность» для 5-9 классов. Пособие содержит необходимый теоретический и интересный практический материал для изучения новой вероятностно-статистической линии. Пособие может быть использовано вместе с любым из действующих учебников.
Цель данного пособия – помочь ребенку в формировании вероятностного мышления, в освоении школьного курса «Вероятность и статистика», помочь учителю в постановке преподавания этого нового материала.
В книге содержится дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках и на факультативах. Ко всем задачам учебного пособия даны ответы, а к большинству задач – подробные указания, комментарии и решения.