Книга посвящена элементарной комбинаторике, теории вероятностей и их приложениям, в ней систематически используется теоретико-множественный язык. Абстрактность этого языка компенсируется большим количеством подробно разобранных примеров. Задачи собраны в отдельные части, которые можно читать независимо. Там рассматриваются простые модели, связанные с приложениями комбинаторики и теории вероятностей. Книга предназначена для и преподавателей, учащихся, а также для студентов.
Авторы книги для внеклассного чтения Балк М.Б., Балк Г.Д. в интересном изложении дают комбинаторику и теорию вероятностей, кроме теории в этой книге есть исторические сведения, которые предлагается дать детям на занятиях кружков или факультативе по математике. После теории представлен набор занимательных задач на соединения без повторений и с повторениями. В отличие от пособия Лютикаса В.С. на занятия по теории вероятностей представлен материал только для одного или двух тематических занятий, а комбинаторика рассматривается без связи с теорией вероятностей. Но в книге представлен большой список литературы по комбинаторике и теории вероятностей.
Книга является пособием для факультетов подготовки учителей начальных классов. В ней дан достаточно большой объём материала по комбинаторике и, преимущественно, теории вероятностей. Этот материал отличается высоким уровнем сложности, он постепенно усложняется, в книге даны обширные исторические сведения.
В статье М.В. Ткачёвой под названием “Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других” приводится пример того, как можно ввести в изучение математики V-IX классов новую содержательную линию, основная цель которой – формирование у учащихся элементарных статистических знаний, а также развитие комбинаторного и вероятностно-статистических стилей мышления. М.В. Ткачёва говорит о том, что вопросы статистики и комбинаторики можно вводить в изучение уже сейчас, на базе учебников и учебных пособий Виленкина Н.Я., Жохова В.И., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и др. “Математика 5” и “Математика 6” (М.: Мнемозина, 1996 и далее), которые сейчас наиболее распространены в школах России. Так, предлагается в практически каждой теме решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операциях над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями (5 кл.); при изучении делимости чисел, умножение и деление натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений (6 кл.), далее эта линия усложняется введением элементов статистики и теории вероятностей (систематизация и подсчёт данных в частотных таблицах, столбчатые диаграммы, среднее значение и мода как характеристики совокупности числовых данных (5 кл.); нахождение частот данных по их относительным частотам в выборке заданного объёма и обратно, систематизация и представление данных в частотных таблицах, представление распределения данных в выборке в виде полигона частот (6 кл.). В статье приведён вариант планирования (для 5-6 классов), даны способы адаптации материала учебника к введению элементарных комбинаторных и статистических знаний. Т.е. комбинаторный материал даётся применительно к темам, изучаемым в нынешнем школьном курсе математики. Элементы теории вероятностей вводятся на практических занятиях (например, практическая работа по сбору, распределению данных по признакам, представление их в виде частотных таблиц) и в задачах.
Также в журнале “Математика в школе” есть статья от министерства образования, в которой говорится о том, что одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в программы элементов статистики и теории вероятностей. Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и накопления методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начинать его преподавание в основной школе уже в 2003-2004 учебном году перечислен примерный круг вопросов, на которые следует ориентироваться учителям при введении комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе. Причем рекомендуется начинать изучение этих вопросов уже в 5 классе, т.к., по мнению психологов, дети этого возраста способны усвоить комбинаторный и статистический материал наиболее продуктивно. Кроме этого, в статье приведён достаточно большой список литературы по данной теме (включая учебники, вкладыши к ним, дополнительную литературу по данной теме и материалы для организации подготовки учителей).
В 2003 году издательство «Просвещение» опубликовало учебное пособие Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Элементы статистики и теории вероятностей» (под редакцией С.А. Теляковского). Книга предназначена для учащихся VII-IX классов и дополняет учебно-методический комплект: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» (под редакцией С.А. Теляковского), который сегодня является самым массовым, наиболее широко используемым учебным пособием по математике в основной школе. Поэтому выход в свет дополнения к указанному комплекту, предназначенного для изучения вероятностно-статистического материала, свидетельствует о том, что введение новой вероятностно-статистической линии в школьное математическое образование уже стало реальностью и данное пособие является основным для изучения этой линии.
Учебное пособие «Элементы статистики и теории вероятностей» содержит теоретический и практический материал по элементам статистики и теории вероятностей, а также методический комментарий и планирование, составленное из расчета, что на изучении математики в VII-IX классах отводится 5 часов в неделю.
Небольшое по объему пособие состоит из четырех параграфов и дополняет учебники:
1. Статистические характеристики.
2. Статистические исследования.
3. Элементы комбинаторики.
4. Начальные сведения из теории вероятностей.
Структура пособия аналогична структуре указанных выше учебников. Параграфы делятся на пункты. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.
Концепция введения элементов статистики и теория вероятностей в основной школе, которой придерживаются авторы нового пособия, в основном совпадает с концепцией, реализованной в рамках учебного комплекта «Математика 7», «Математика 8», «Математика 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, но материал несколько сокращен. Исключением является только параграф об элементах комбинаторики. Он помещен в курс IX класса (а не в VII класс, как это сделано в УМК под ред. Г.В.Дорофеева) и содержит гораздо больше и теоретических сведений и практических упражнений, чем соответствующий материал в учебнике «Математика 7» под ред. Г.В.Дорофеева.
Остановимся подробнее на особенностях предлагаемых подходов к изучению элементов статистики в курсе алгебры 7-8 классов.
В VII классе учащиеся знакомятся с такими простейшими статистическими характеристиками, как среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Их содержательный смысл разъясняется на примерах. Учащиеся должны знать соответствующие определения, научиться находить эти характеристики в несложных случаях, понимать их практический смысл в конкретных ситуациях. На изучение этого материала рекомендуется выделить 4 урока в конце учебного года за счет времени, отводимого на итоговое повторение.
Среднее арифметическое ряда данных является одним из основных статистических показателей. Оно используется в статистике наряду с такими средними величинами, как средняя квадратичная, средняя гармоническая.
Авторы подробно рассматривают графические способы представления статистических данных. При этом предлагают использовать столбчатую диаграмму для изображения распределения частот дискретных данных.
Наибольший объем материала запланирован для изучения в IX классе. Этот материал объединен в два параграфа: «Элементы комбинаторики» и «Начальные сведения из теории вероятностей», причем второй параграф включает два пункта, один из которых – обязательный, а решение об изучении второго пункта принимает учитель. На изучение вероятностно-статистического материала в IX классе выделяется 12 уроков (или, по решению учителя, 15 уроков), из них 8 уроков – на комбинаторику, 3 урока (или, по решению учителя, 6 уроков) – на теорию вероятностей и 1 урок – контрольная работа.
Элементы комбинаторики излагаются традиционно. Сначала на простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Затем разъясняется и формулируется комбинаторное правило умножения (которое чаще называют правилом произведения).
Далее последовательно вводятся понятия перестановки, размещения из n элементов по k и сочетания из n элементов по k. С помощью комбинаторного правила умножения выводятся формулы для вычисления числа всевозможных перестановок, размещений и сочетаний из данного числа п элементов. Изложение материала сопровождается большим числом задач для самостоятельного решения. Комбинации с повторением элементов не рассматриваются (кроме нескольких несложных примеров).
Соответствующее планирование приведено в «Методическом комментарии» в конце указанного пособия.
В §3 «Элементы комбинаторики» содержится четыре пункта: